МИКРОКАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ

Рассмотрим сначала замкнутую систему, у которой число частиц N, объем V и полная энергия Е фиксированы. Предположим, кроме того, что система изолированная, т.е. влиянием внешних параметров, таких, как гравитационные н магнитные поля, можно пренебречь. Мы знаем, что в общем случае замкнутая макроскопическая система стремится перейти в стационарное равновесное состояние с максимальным беспорядком, нли энтропией. Макросостояние системы характеризуется величинами N, V н Е. На микроскопическом уровне существует в общем случае громадное число различных способов, иначе говоря конфигураций, в которых может реализовываться данное макросостояние (N,V,E). Каждая конкретная конфигурация, нлн микросостояние, является достижимой, если его характеристики соответствуют данному мнкросостоянию.

Все, что нам известно о достижимых мнкросостояннях, — это что нх свойства соответствуют известным фнзнческнм характеристикам системы. Раз у нас нет никаких прнчнн предпочесть одно микросостоянне другому,  разумно постулировать,  что в любой данный момент времени

система с равной вероятностью может оказаться в любом из своих достижимых микросостояний. Чтобы точнее выразить этот постулат равных априорных вероятностей, представим себе изолированную систему с Q достнжнмымн состояниями. Вероятность найтн систему в мнкросостоянин £ равна

Сумма Р  по всем Q равна единице.

Средине от физических величин можно определять двумя способами. В обычном лабораторном эксперименте измерение физических величин производят в течение достаточно большого промежутка времени, чтобы в системе успело реализоваться большое число ее достижимых микро-состояний. Такие усреднения по времени мы уже выполняли в гл. 6, где методом молекулярной дннамнкн рассчитывались средине по времени значения таких величин, как температура н давление. С точки зрения такого усреднения по времени смысл вероятностей в формуле (15.1) заключается в том, что величина Р дает долю времени, которую одна система за время последовательности наблюдений находится в данном микроскопическом состоянии s.

Несмотря на простой смысл средних по времени, удобно сформулировать статистические средние в данный момент времени. Вместо проведения измерений на одной системе представим себе совокупность, нлн ансамбль, систем, которая составлена из идентичных воображаемых копни, характеризующихся одним и тем же макросостояннем. Количество систем в ансамбле равно числу возможных микросостояннй. В этой интерпретации вероятности в (15.1) описывают ансамбль тождественных систем. Ансамбль систем, характеризуемый величинами Е, Т, V н описываемый распределением вероятностей вида (15.1), называется микроканоническим ансамблем.

Предположим, что некоторая физическая величина А имеет значение А , когда система находится в состоянии s. Тогда среднее от А по ансамблю дается выражением

где Р определено в (15.1).

Поскольку проведенные рассуждения о временных средних и средних по ансамблю остаются все же формальными, рассмотрим простой пример.

Пусть у нас есть монета н мы хотнм знать, с какой вероятностью Р^ прн ее бросании выпадет «орел». Мы можем найти Р^, бросая одну монету N раз н вычисляя отношение

где nh есть полное число случаев выпадения «орла». Можно ли ожидать, что всегда прн бросании монеты N раз мы получим одинаковое значение В то же время мы имеем право рассматривать ансамбль из 2 одинаковых монет, одна из которых находится в состоянии «орел» и другая —в состоянии «решка». Поскольку полное число состояний монеты Q равно двум, из (15.1) имеем, что Ph = 1/2. Можно предположить, что оба метода вычисления Ph дают одинаковый результат.

С целью проиллюстрировать эти идеи на примере, имеющем более непосредственное отношение к физике, рассмотрим модель, в которой частицы различимы, не взаимодействуют н могут иметь только две скорости i>0 и -Пр. Поскольку частицы невзаимодействующие, размер системы и положения частиц не имеют значения.   В табл. 15.1 изображен

о

ансамбль систем, соответствующий N = 4 и Е = 2uQ. Масса частиц счн тается равной единице.

Перебор всех шестнадцати систем ансамбля позволяет нам вычислить для физических величин системы средние по ансамблю. Например, нз табл. 15.1 видно, что Р п~ вероятность того, что число частиц, движущихся вправо, равно п, —составляет 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16 для п = 0, 1, 2, 3 н 4 соответственно. Отсюда среднее число частиц, движущихся вправо, равно