15.3.   МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

В гл. 6 мы выяснили, что систему многих частиц с заданными N, V н Е можно промоделировать, интегрируя уравнения движения каждой частицы и вычисляя средние по времени значения рассматрнвамых физических величин. Как можно выполнить усреднение по ансамблю прн заданных N, V и Е ? В качестве одного из способов можно было бы перебрать все мнкросостояния н вычислить средние по ансамблю от требуемых физических величин, как мы это делали в наших примерах. Однако такой подход, как правило, непрактичен, поскольку даже для небольшой системы число микросостояний очень уж велико. Следуя духу метода Монте-Карло, желательно разработать практический метод получения репрезентативной выборки нз полного числа мнкросостояннй. Очевидная процедура —это зафиксировать N н V, изменить случайным образом координаты и скорости отдельных частиц н принять конфигурацию, если она имеет требуемую полную энергию. Данная процедура, однако, весьма неэффективна, поскольку большинство конфигураций вообще не будут иметь требуемую полную энергию н должны быть отвергнуты.

Эффективную процедуру Монте-Карло предложил Мишель Кройц с сотрудниками. Представим себе макроскопическую систему, которая составлена из двух «подсистем», а именно исходной рассматриваемой системы, называемой далее системой, н подсистемы, состоящей из одного элемента. В силу исторических причин эта дополнительная степень свободы называется «демон». Демон путешествует по системе и переносит энергию, когда пытается изменить динамические переменные системы. Если демон хранит в своей мантии достаточно энергии, он отдает энергию любому элементу системы, которому требуется энергия, чтобы произвести требуемое изменение. Наоборот, если требуемое изменение уменьшает энергию системы, то избыточная энергия отдается демону. Единственное ограничение состоит в том, что энергия демона не может быть отрицательной. В итоге алгоритм принимает следующий вид:

а.         Выбираем случайным образом частицу и производим пробное измене-ние ее координат.

б.         Вычисляем   изменение  энергии   системы, . обусловленное изменениемкоординат.

в.         Если  пробное  изменение  уменьшает энергию  системы,   то системаотдает энергию демону и новая конфигурация принимается.

г.         Если пробное изменение увеличивает энергию системы, то новаяконфигурация принимается в том случае, если демон имеет доста-точную энергию, чтобы передать ее системе. В противном случаеновая конфигурация отбрасывается и частица сохраняет свои ста-рые координаты.

д.         Если пробное изменение не меняет энергию системы, новая конфи-гурация принимается.

Указанная процедура повторяется до тех пор, пока не будет получена репрезентативная выборка состояний. Через определенный промежуток времени, необходимый для установления равновесия, демон и система достигнут компромисса и «договорятся* на какую-то среднюю для каждого энергию. Полная энергия остается постоянной, и, поскольку демон представляет только одну степень свободы по сравнению с многими степенями свободы системы, можно предположить, что флуктуации энергии системы будут малы.

Откуда следует, что результаты моделирования мнкроканонического ансамбля методами Монте-Карло н усреднения по времени в молекулярной динамике одинаковы? Предположение, что оба усреднения дают одинаковые результаты, называют эреодической гипотезой (илн, точнее, квазиэргодической гипотезой). Хотя в общем случае нельзя показать, что оба средних идентичны, найдено, что во всех практически интересных случаях онн дают одинаковые результаты.