15.6.   МОДЕЛЬ ИЗИНГА

Простейшей и самой распространенной в статистической физике моделью системы фазовых взаимодействий является модель Изинга. С этой моделью связана богатая история, которую расписал Браш (см. список литературы). Модель была предложена Ленцем и исследована его дипломником Изингом с целью изучения фазового перехода нз парамагнитного состояния в ферромагнитное. Изинг рассчитал термодинамические свойства модели в одномерной постановке и нашел, что в ней фазовый переход отсутствует. Однако в двумерном и трехмерном случаях модель Изннга действительно обнаруживает переход. Природа фазового перехода в двумерном случае и приложения модели Изинга к столь несхожим системам, как ферромагнетики и антнферромагнетики, бинарные сплавы, жидкости и немагнитные материалы, рассматриваются в гл. 16.

Чтобы познакомиться с моделью Изинга, рассмотрим решетку, содержащую N узлов, и предположим, что с каждым узлом решетки i связано число s, где = +1, если спин ориентирован «вверх», и = -1, если он ориентирован «вниз». Любая конкретная конфигурация, т.е. микросостояние решетки, задается набором переменных {svs^,...,s N) для всех узлов решетки.

Мы знаем, что макроскопические свойства системы определяются свойствами ее достижимых микросостояннй. Следовательно, необходимо знать зависимость энергии Е от конфигурации спинов. Полная энергия при наличии магнитного поля h в модели Изинга равняется

где первая сумма в (15.6) берется по всем ближайшим соседним парам спннов, а вторая сумма —по всем спинам решетки. Константа обменного взаимодействия J является мерой силы взаимодействия между ближайшими соседними спинами (рнс. 15.1). Если J > 0, то состояния XT н ii> которые характеризуются одинаковой ориентацией спннов ближайших со-

седей, энергетически выгоднее по сравнению с состояниями XX и 4.Т- У которых соседние спины ориентированы в противоположные стороны. Следовательно, можно ожидать, что для J > 0 состояние с наименьшей полной энергией является ферромагнитным, т.е. в среднем суммарное число спинов, ориентированных в одном направлении, не равно нулю. Если У < 0, предпочтительнее состояния TJ. и J/Г, для которых соседние спины антипараллельны, и можно ожидать, что состояние с наименьшей энергией является антиферрочагнитным, т.е. спины упорядочены через один. Если наложить внешнее «магнитное поле» ft, направленное вверх, то спины Т и i приобретают дополнительную внутреннюю энергию, равную -ft и +ft соответственно. Отметим, что ft измеряется в таких единицах, что магнитный момент на спин равен 1.

Важным достоинством модели Изннга является ее простота. В ряду упрощающих предположений, положенных в основу модели, отметим такие: в ней пренебрегается кинетической энергией атомов, связанных с узлами решетки; в энергии взаимодействия учитывается вклад только ближайших соседей и предусматривается только два дискретных состояния для спинов. Несмотря на простоту модели, мы увидим, что она проявляет интересные свойства.

Для хорошо знакомого случая классических частиц, координаты и скорости которых могут принимать континуум значений, динамика определяется законами Ньютона. В модели Изинга зависимости (15.6) энергии от спиновой конфигурации недостаточно, чтобы определить временные свойства системы. Иными словами, соотношение (15.6) не говорит нам, как меняется система при изменении спиновой конфигурации, и нам приходится вводить динамику отдельно. Наибольшее распространение для спиновых систем Изинга получила динамика «опрокидывания спнна». В этой динамике спнн выбирается случайным образом и пробное изменение (испытание Монте-Карло) соответствует опрокидыванию спина из состояния 1 в I или из J, в Т- Другая динамика для модели Изинга обсуждается в гл. 16.

Применим теперь алгоритм демона к моделированию модели Изинга в мнкроканоннческом ансамбле. В одномерной модели Изинга демон должен выбирать спины случайно, чтобы не попадать на периодически повторяющиеся конфигурации. Поскольку нас интересуют свойства бесконечной системы, нужно учесть краевые условия. В качестве простейшего краевого условия выбирается «свободная граница», означающая, что спины в узлах 1 н N взаимодействуют только с одним ближайшим соседом. Вообще   говоря,   лучше   выбирать   периодические   (тороидальные) краевые

условия. В этом варианте решетка превращается в кольцо и спины в узлах 1 и N взаимодействуют друг с другом., а значит, имеют такое же число взаимодействий, что и остальные спины.

Чему равны некоторые средние физические величины, которые желательно вычислить? Очевидной физической величиной является суммарный магнитный момент, или намагниченность М, определяемый формулой

(Напомним, что мы положили магнитный момент спина равным единице.) Обычно интерес представляют средние значения величины <М> и флукту-

2 2

ации <М > - <М> как функции температуры системы и наложенного магнитного поля. Зависимость температуры от энергии можно определять двумя способами. Один состоит в измерении вероятности того, что демон имеет энергию Јrf Поскольку мы знаем, что эта вероятность пропорциональна exp (-E^/ftgT), то можно определить температуру из графика логарифма вероятности как функции от Јrf. Более легкий способ определения температуры —измерять среднюю энергию демона. Однако поскольку в модели Изинга значения энергии демона не непрерывны, то температура не пропорциональна средней энергии демона, как это име ет место для идеального газа. В приложении 15А мы показываем, что в пределе бесконечной :истемы температура для h = 0 связана с Е. соотношением

Формула (15.8) получается в результате замены интегралов в выражении (15.5) суммами по всем возможным значениям энергии демона. Заметим, что в пределе \I/E.\ « 1 формула (15.8) переходит в равенство kj = Е., что и следовало ожидать.

о а

В программе Ising_demon реализовано микроканоническое моделирование одномерной модели Изинга с использованием периодических краевых условий и динамикой опрокидывания спина. Когда начальная конфи гурация выбрана, алгоритм демона аналогичен алгоритму, описанному в разд. 15.3. Однако по сравнению с идеальным газом в одномерной модели Изинга спины нужно выбирать случайным образом.

Подпись:

Подпись:

Отметим, что для h = 0 обусловленное опрокидыванием спина изменение энергии равно либо 0, либо ±4/. Отсюда начальная энергия системы и демона должна быть кратна 4/. Поскольку спины взаимодействуют, то трудно выбрать начальную конфигурацию спинов, имеющую точно требуемую энергию. В процедуре, заложенной в подпрограмму initial, все спины в начальной конфигурации выбираются ориентированными «вверх», т.е. формируется конфигурация с минимальной энергией. Преимущество данной конфигурации в том, что можно легко вычислить полную энергию. После этого энергия демона выбирается так, чтобы полная энергия системы и демона равнялась искомому кратному 4/.