ЗАДАЧА 15.5. Одномерный поток тепла

а.         Модифицируйте программу conduct так, чтобы все демоны былиэквивалентны, т.е. наложите периодические краевые условия и неиспользуйте подпрограмму heat. Вычислите среднюю энергию демонав каждом узле и, используя формулу (15.8), определите локальнуютемпературу узлов. В качестве параметров возьмите N = 22, nmcs == 1000 и У = 1. Однородна ли локальная температура? Как соотносятся ваши результаты со случаем одного демона?

б.         В программе conduct энергия вводится в систему в узле 1 и от-водится в узле N. Возьмите параметры N = 22, У = 1, nmcs = 1000и nheat = 100. Для каждого узла определите среднюю энергию демо-на и получите соответствующую локальную температуру. Начертитепрофиль температуры, изображая температуру как функцию номераузла. Градиент температуры есть разность температур в узлах от(W-l)-ro до 2-го, деленная на расстояние между ними. (Напом-ним, что расстояние между соседними узлами принято равным едини-це.) Вследствие флуктуации локальной температуры и концевых эф-фектов градиент температуры следует оценивать, аппроксимируяпрофиль температуры в середине решетки прямой линией. Определитетакже среднюю температуру системы.

в.         Плотность теплового потока Q есть поток энергии  на единицудлины   в  единицу  времени.   Поток  энергии—это   величина энергии,которую демон 1  добавляет в систему в узле 1.   Удобно измерять«время» в единицах шагов Монте-Карло на спин. Определите Q дляпараметров, использованных в п. «б».

г.         Если градиент температуры дТ/дх не слишком велик, то плот-ность теплового потока Q пропорциональна дТ/дх. Можно определитьудельную теплопроводность к соотношением

Используя полученные результаты для дТ/дх и Q, оцените к. Из-за ограниченного числа спинов и шагов Монте-Карло ваши результаты получатся с точностью только около 20%. Для получения более точных результатов потребовалась бы система из по крайней мере 50 спииов и 10 000—100 000 шагов Монте-Карло на спин. Однако если не использовать специальные приемы программирования (см. разд. 15.8), то для такого варианта потребовался бы уже большой компьютер.

д.         Максимальные плотность теплового потока и градиент температу-ры могут достигаться при nheat = 1. Определите Q, профиль темпе-ратуры и среднюю температуру при различных значениях nheat. Длявсех ли nheat профиль температуры линеен? Если профиль темпера-туры линеен, оцените дТ/дх и определите к. Зависит ли к от зна-чения средней температуры?

Отметим, что в задаче 15.5 иам удалось рассчитать профиль температуры, прибегнув к алгоритму, который оперирует только с целыми числами. При стандартном подходе надо было бы решать уравнение теплопроводности, сходное по виду с уравнением диффузии (11.34).