ЗАДАЧА 16.3. Одномерное моделирование классического идеального газа

а.         Модифицируйте программу Boitzmann для моделирования одномер-ного идеального газа, состоящего из N частиц. Положите N = 20,Г = 100 и nmcs = 200. Сообщите всем частицам • одинаковую началь-ную скорость vinitial и в первом варианте задайте ее равной 10.Определите значение dvmax, максимальное изменение скоростей, ис-ходя из условия, чтобы коэффициент принятия составил приблизи-тельно 50%. Чему равны средняя кинетическая энергия и средняяскорость частиц?

б.         Можно было бы ожидать, что полная энергия идеального газа ос-тается постоянной, поскольку частицы не взаимодействуют друг сдругом и, следовательно, не могут непосредственно обмениватьсяэнергией. Чему равно значение начальной энергии системы дляvinitial = 10? Остается ли полная энергия постоянной? Если энер-гия не остается постоянной, объясните, как она изменяется. Объя-сните, почему измеренная средняя скорость частиц приблизительноравна нулю даже при ненулевых начальных скоростях частиц.

в.         Каков простой критерий • «теплового равновесия»? Оцените числошагов Монте-Карло на частицу,   необходимых для достижения систе-

мой теплового равновесия. Какими надо выбрать начальные скорости, чтобы система достигала теплового равновесия при температуре Т за минимальное время?

г.         Вычислите среднюю энергию иа частицу для Т = 10, 100 и 400.Чтобы средние вычислялись после достижения системой тепловогоравновесия, обращайтесь к подпрограмме DATA только после того,как равновесие уже достигнуто. Увеличивайте число шагов Монте-Карло до тех пор, пока искомые средние не перестанут заметно ме-няться. Чему приблизительно равно значение nmcs, необходимое дляустановления теплового равновесия при N = 10 и Т = 100 и при N == 40 и Т = 100? Если в двух случаях получаются разные значенияnmcs, то объясните причину этого.

д.         Вычислите вероятность P(E)dE того, что величина полной энер-гии системы N частиц лежит между Е и Е + dE. Как вы считаете,будет ли Р(Е) пропорциональна ехр (-Е/kgT)? Постройте график за-висимости Р(Е) от £ и опишите качественно ее поведение. Являетсяли график зависимости In Р(Е) прямой линией? Опишите качествен-ные особенности кривой 1п Р(Е) как функции от Е.

е.         Вычислите среднюю энергию для Т = 10, 20, 30, 90, 100 и НО иоцените теплоемкость.

Q П

ж.        Вычислите средний квадрат флуктуации энергии <А£ > = <Е > -- <Е>2 для Т = 10 и Т = 40. Сравните величину отношения <LE2>/T2с теплоемкостью, определенной в п. «е».

Возможно, вы удивились, обнаружив в задаче 16.Зд, что функция Р(е) имеет вид гауссоиды, центрированной относительно средней энергии системы. Иначе говоря, если микроскопические состояния» системы распределены в соответствии с распределением Больцмана, то функция распределения макроскопической величины, такой, как полная энергия, имеет форму острого пика около своего среднего значения.

Теперь рассмотрим моделирование модели Изинга, находящейся в равновесии с тепловой баней. Как говорилось в гл. 15, энергия модели Изинга определяется выражением

где s = ±1, / есть мера силы взаимодействия спинов и первая сумма берется по всем парам спинов, являющихся ближайшими соседями. Второй член в (16.10) отвечает энергии взаимодействия магнитного момента с внешним магнитным полем.

В задаче 16.4 для моделирования одномерной модели Изинга мы ис-пользуем алгоритм Метрополиса с динамикой опрокидывания спинов. Вуказанной динамике возможным пробным изменением является опрокиды-вание спина s^—*-sf Обратите внимание на то, что параметры /, kRи Т не появляются порознь, а встречаются только в безразмерной ком-бинации I/k^. Если это ие оговорено особо, мы будем измерять тем-пературу в таких единицах, чтобы = 1. Большинство наших моде-лирований будет проводиться для случая Н = 0.