16.4.   МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА

Одним из наиболее интересных наблюдаемых в природе явлений является ферромагнетизм. Возможно, вы знакомы с материалами, такими как железо и никель, которые проявляют спонтанную иамагиичеииость в отсутствии внешнего магнитного поля. Эта ненулевая иамагиичеииость присутствует только при температуре ниже вполне определенной температуры Г, называемой температурой Кюри или критической температурой. При температурах Т > Т намагниченность пропадает. Тем самым Т   отделяет хаотическую фазу при Т > Т   от ферромагнитной фазы при

Т< Т. с

Несмотря на то что механизм ферромагнетизма имеет квантовомеха-ническую природу и служит объектом интенсивных современных экспериментальных и теоретических исследований, изучение классической модели Изиига в двумерной и трехмерной постановках много дало для понимания свойств магнитных систем в окрестности фазового перехода. Однако в силу своего классического характера и пренебрежения другими спиновыми компонентами модель Изинга не дает полного описания ферромагнетизма, особенно при температурах значительно ниже Т. В частности, в модели Изинга предполагается, что отдельные моменты локализованы, и поэтому модель Изинга ие применима к металлам, таким, как железо и никель.

Для исследования свойств модели Изиига нам необходимо конкретизировать, какие физические свойства представляют интерес, и разработать программу их вычисления. К рассматриваемым обычно равновесным характеристикам относятся средняя энергия <£>, средняя намагниченность <М>, теплоемкость С и магнитная восприимчивость %. Один из методов измерения С при постоянном внешнем магнитном поле вытекает из определения

Другой метод измерения С осиоваи на использовании связи теплоемкости со статистическими флуктуациями полной энергии в каноническом ансамбле:

Магнитная восприимчивость % является другим примером «функции отклика»,   поскольку   она   характеризует   способность   системы «откли-

каться» или опрокидываться за счет изменения во внешнем магнитном поле. Изотермическая магнитная восприимчивость при нулевом поле определяется посредством термодинамической производной

Восприимчивость при нулевом поле можно связать с флуктуациями намагниченности в системе:

где <М> и <М > отвечают нулевому полю. Соотношения (16.146) и (16.156) являются примерами общего соотношения между функциями отклика и равновесными флуктуациями. Для полноты они выводятся в приложении 16А.

Теперь, когда мы конкретизировали некоторые интересующие нас равновесные величины, нам надо реализовать алгоритм Метрополиса. Этот алгоритм был сформулирован в разд. 16.2 как рецепт для генерации состояний с требуемым распределением Больцмана. Однако алгоритм с динамикой «опрокидывания спина» является вполне разумным приближением к реальной динамике анизотропного магнита, спииы которого связаны с колебаниями решетки. В этом случае связь приводит к беспорядочному опрокидыванию спинов и можно ожидать, что один шаг Монте-Карло на спии пропорционален среднему времени между опрокидываниями спииов, наблюдаемому в лабораторном эксперименте. Следовательно, мы можем рассматривать динамику опрокидывания спина как настоящий нестационарный процесс и наблюдать релаксацию к равновесию по прошествии достаточно больших времен.

Ниже мы разработаем программу Ising для моделирования методом Моите-Карло двумерной модели Изинга, находящейся в контакте с тепловой баней. С точки зрения вычислительных затрат одним из самых трудоемких элементов алгоритма Метрополиса является вычисление экспоненты ехр(-рАЕ), где р = 1/т. Однако, как видно из рис. 16.1, для модели Изиига имеется лишь небольшое число возможных значений Поэтому с целью экономии машинного времени мы запоминаем несколько различных вероятностей опрокидываний спииа в массиве w. Отметим, что если опрокидывание не принимается и оставляется старая конфигурация, то тепловое равновесие не будет правильно описываться,  если  при вычислении средних не учитывать старую конфигурацию

еще раз. Отметим также, что в подпрограмме data значения всех физических измеряемых величии регистрируются после каждого шага Монте-Карло; оптимальный промежуток времени для «снятия показаний» физических величин исследуется в задаче 16.8.

В подпрограмме initial выбирается начальная ориентация спинов, вычисляются начальные значения энергии и намагниченности и рассчитываются значения различных вероятностей перехода. Более подробно начальные условия рассмотрены в задаче 16.6. Обратите внимание иа то, что при вычислении полной энергии мы учитываем взаимодействие каждого спина только с ближайшими соседними спинами сверху и слева. Таким образом, энергия каждого спин-спинового взаимодействия вычисляется только один раз и тем самым мы избегаем двойного счета.

Мы вправе реализовать алгоритм Метрополиса за два шага. Сначала проверяется условие LE s 0 и в случае его выполнения пробное опрокидывание принимается. Если же условие не выполняется, генерируется случайное число и сравнивается с ехр (-(ЗЛЕ). Пробное опрокидывание принимается, если это случайное число меньше или равно вероятности перехода.

Типичная лабораторная система содержит по крайней мене 1023 спинов. По сравнению с этим число спинов, изучаемых в вычислительных

2 "\

экспериментах, обычно находится в пределах от 32 до 600 . Как мы уже указывали по другому поводу, применение периодических краевых условий минимизирует эффекты конечного размера. Однако недостаток периодических краевых условий состоит в том, что при них минимальное расстояние между спинами уменьшается до половины длины системы.

Возможны также и более сложные краевые условия. Например можно представить ситуацию, когда у поверхностных спинов имеются дополнительные соседи, ориентация которых связана со средним спииом рассматриваемой конфигурации в данный момент времени. В подпрограмме periodic приняты периодические краевые условия, как более простые.

В некоторых вычислительных экспериментах процесс установления равновесия может занимать заметную часть общего машинного времени. Практичнее всего в качестве начальных условий выбирать «равновесную» конфигурацию из какого-нибудь прежнего расчета, отвечающего температуре, близкой к требуемой. Следующая подпрограмма, осуществляющая запоминание последней конфигурации пропускаемого варианта, может быть включена в программу Ising после подпрограммы output.

Сохраненной конфигурацией можно воспользоваться в последующих расчетах, добавив в подпрограмму initial следующие инструкции.