ЗАДАЧА 16.6. Установление равновесия двумерной модели Изинга

а. Входными параметрами программы Ising являются линейный размер решетки L, число шагов Монте-Карло на спнн nmcs и температура тепловой бани Т. Выполните программу Ising с L = 8 и Г = 2, прн этом задайте все начальные спнны направленными вверх. Чему равна начальная «температура» системы? Постройте график зависимости энергии и намагниченности от «времени» (числа шагов Монте-Карло на спнн). Сколько времени требуется системе для достижения равновесия? После достижения системой равновесия запомните какую-нибудь типичную конфигурацию.

б.         Визуально исследуйте несколько равновесных конфигураций. Чтоможно сказать о системе: «упорядочена» она или «хаотична»?

в.         Выполните программу Ising с L = 8 и Т = 1.5 и выберите на-чальную конфигурацию спинов такой же, как в п. «а», т.е. напра-вьте все спины вверх. За какое время эта система достигает рав-новесия? Задайте теперь в качестве начальной конфигурации конфи-гурацию, запомненную в п. «а» для Г = 2.0. Сравните относитель-ные времена достижения равновесия для обеих конфигураций.

г.         Визуально исследуйте несколько равновесных конфигураций дляТ = 1.5.  Являются ли  эти конфигурации более или  менее упорядо-ченными, чем конфигурации в п. «а»?

Теперь, когда мы получили типичные равновесные конфигурации, хотелось бы рассчитать средние значения некоторых рассматриваемых физических величин. Предположим, что требуется вычислить среднее значение физической величины А. Обычно расчет А занимает много времени и поэтому желательно вычислять ее значения не чаще, чем это необходимо. Ясно, что нам не нужно вычислять А после опрокидывания только одного спина, поскольку значения А в обеих конфигурациях были бы почти одинаковыми. Идеальным было бы вычислять А для конфигураций, которые статистически независимы. Однако, поскольку «время корреляции» конфигураций a priori неизвестно, следует провести предварительные расчеты для оценки времени корреляции.

Одни из способов определения временных интервалов, на которых конфигурации коррелированы, состоит в вычислении зависящих от времени автокорреляционных функций CM(t) и C^t), определяемых соотношениями

Величины M(t) и £(/) представляют собой значения намагниченности и полной энергии системы в «момент времени» t, которым является число шагов Монте-Карло на спнн. Заметим, что при t = 0 функция CM(t) пропорциональна магнитной восприимчивости, a CЈ(i) пропорциональна теплоемкости.  Для достаточно больших / функции M(t)  и М(0) будут

9

некоррелированны      и      <M(t) М(0)> —* <M(t)> <М(0)> = <М> . Следова-

тельно, CM(t) и         должны стремиться к нулю при t —> со. Обычно

считается, что Cjjf) и C^t) убывают со временем по экспоненциальному закону. Оценкой времени корреляции т служит время, за которое C(t) уменьшается в е раз по сравнению со своим значением при t = 0. Поскольку конфигурации, отстоящие на времена, меньшие т, являются статистически коррелированными, мы будем вычислять требуемые физические величины для временных интервалов порядка т, а не после каждого шага Монте-Карло на спин.