ЗАДАЧА 16.9. Качественное поведение двумерной модели Изинга

а.         Модифицируйте программу Ising так, чтобы значения рассматри-ваемых физических величин вычислялись для статистически незави-симых конфигураций. Поскольку нам предстоит рассматривать модельИзинга для решеток с разными значениями L, удобно вычислять ин-тенсивные характеристики, такие, как средняя энергия на спин,удельная теплоемкость (на спин) и восприимчивость на спин. Чтобыупростить обозначения, для экстенсивных и соответствующих интен-сивных величин мы сохраним одинаковые обозначения.

б.         С помощью модифицированной вами программы рассчитайте намаг-ниченность на спин т, среднюю энергию на спин <£>, удельную теп-лоемкость С и восприимчивость на спин %. Примите L = 4 и рас-смотрите Г от 1.5 до 3.5 с шагом 0.2. В начальном состоянии дляГ = 1.5 задайте все спины ориентированными вверх. Для каждоговарианта с температурой Г+АГ в качестве начальной конфигурациииспользуйте равновесную конфигурацию из предыдущего варианта стемпературой Г. Поскольку в ходе ваших наблюдений все спнны мо-гут перевернуться н намагниченность поменяет знак, оценивайтесреднее значение | m |, а не т. Используйте по крайней мере 200шагов Монте-Карло на спин и оцените число равновесных конфигура-ций, необходимое для нахождения m и <£> с точностью примерно 5%.Нарисуйте графики зависимостей <£>, \т\, С н % от Г и опишитекачественную зависимость этих величин от температуры. Наблюдаетели вы какие-нибудь признаки фазового перехода? Заметим, что мож-но сэкономить машинное время, воспользовавшись для решеток прнразных температурах одним и тем же набором случайных чисел.

в.         Повторите вычисления п. «б» для L = 8 и L = 16. Нарисуйтеграфики полученных оценок <£>, \т\, С и % как функций от Г иопишите качественную зависимость этих величин от температуры.Наблюдаете ли вы какие-нибудь признаки фазового перехода? Длясравнения:   опубликованные  Ландау  (см. список  литературы) резуль-таты по методу Монте-Карло для двумерной модели Изинга получены для L в диапазоне от 4 до 60 и с числом шагов Монте-Карло на спин от 104 до 2-Ю3.

г.         Для любого заданного значения L, например L = 16, выберитезначение Г, которое, по вашему мнению, отвечает температуре не-сколько ниже Т. В начальной конфигурации вместо ориентации всехспинов вверх задайте случайные направления спннов. Чему равнаначальная «температура» системы? Посмотрите, как эволюционируютспины во времени. Наблюдаете ли вы несколько доменов с положи-тельной и отрицательной спонтанной намагниченностью? Как меняет-ся намагниченность со временем? Наблюдаются ли в ней большиефлуктуации? Опишите равновесную конфигурацию системы. Выявляетсяли много доменов или только одни? Почему мы предлагали в п. «б»начинать при низкой температуре и постепенно «нагревать» систему?

д.         Поскольку все наши модельные расчеты выполнены для нулевогомагнитного поля, то все направления эквивалентны. Отсюда дляТ < Т в предположении наличия спонтанной намагниченности можнобыло бы ожидать увидеть как положительные, так н отрицательныезначения намагниченности. Пусть начальная конфигурация отвечаетсостоянию, в котором все спины ориентированы вверх и Т < Т.Рассчитываете лн вы увидеть отрицательные значения М ? Почему?Как вам кажется, наблюдаете ли вы больше или меньше отрицатель-ных значений М для больших или меньших значений L ? Если бы выисходили из начального состояния, в котором все спины были ори-ентированы вниз, то как вы думаете, наблюдали бы вы положитель-ные значения М или отрицательные?

Наиболее серьезным ограничением для изучения в численном эксперименте фазовых переходов выступает относительно малый размер наших систем. Тем не менее мы видели в задаче 16.9, что даже системы всего лишь с L = 4 обнаруживают свойства, напоминающие фазовый переход. На рис. 16.3 приведены данные, полученные нами методом Монте-Карло для температурной зависимости удельной теплоемкости двумерной модели Изинга с L = 8 и L = 32. Видно, что С обнаруживает широкий максимум, который становится более четким для больших L. Ведет ли себя полученная вами зависимость С аналогичным образом?

Поскольку мы умеем моделировать только конечные решетки, то трудно получить оценки для а, в и у непосредственно с помощью опре-

делений (16.17)—(16.19). Вместо этого, как мы узнали в гл.12, можно осуществлять перемасштабирование н экстраполировать результаты для конечного L на L —* оо. Например, из рис. 16.3 видно, что температура, при которой С имеет максимум, лучше определяется для больших значений L. Такое поведение обеспечивает простой способ определения температуры фазового перехода Т (L) конечной системы. Согласно теории перемасштабировання, критическая температура Tc(L) ведет себя как

где а —постоянная, а 1> определена в (16.20). Поскольку, как мы ожидаем, конечность размера решетки важна, ибо

то можно предположить, что температурная зависимость М, С и X для конечных L заменяется на

В задаче 16.10 мы воспользуемся соотношениями (16.23)—(16.25) для оценки критических показателей.