ЗАДАЧА 16.13. Двумерная модель Изинга во внешнем магнитном поле

а.         Модифицируйте свою двумерную программу модели Изинга, учтя вней энергию взаимодействия с внешним магнитным полем И. Удобноизмерять Н в единицах Л = \iQH/kB. Требуется вычислить среднююнамагниченность на спин т как функцию от Л для Т < Т . Рассмот-рите квадратную решетку с L = 16 и получите равновесное состоя-ние при Т = 1.8 и Л = 0. Для нахождения m(h) примите следующуюпроцедуру.

i.      В  качестве   начальной   конфигурации  для      = АЛ = 0.2 используйте равновесную конфигурацию при Л = 0. п.     Прежде чем вычислять средние, просчитайте эволюцию системы в течение 20 шагов по времени (шагов Монте-Карло на спин). Hi.    Усредните m по 80 временным шагам.

В качестве начальной конфигурации для Л , = Л + ДА ис-пользуйте последнюю конфигурацию для Л   = пДЛ.

Повторяйте шаги (ii)—(iv) до тех пор, пока не получится m ~ 0.95.

Постройте график зависимости m от Л. Соответствуют ли вычисленные значения m равновесным средним?

б.         Уменьшайте Л с шагом ДЛ = 0.2 до тех пор, пока Л не пройдетчерез нуль и не получится m ~ -0.95. Остается ли m положительнойпрн малых отрицательных Л? Соответствуют ли получаемые для отри-цательных Л значения m равновесным средним? Изобразите конфигу-рации спинов для нескольких значений Л. Просматриваются ли приз-наки доменов? Продолжите полученный график зависимости m от Л наотрицательные значения Л.

в.         Увеличивайте h до тех пор, пока кривая зависимости m от Л непримет вид замкнутой петли. Чему равно значение m при Л = 0? Этозначение m и есть спонтанная намагниченность.

г.         Фазовый переход первого рода характеризуется разрывностью(для бесконечной решетки) параметров порядка. Отличительным при-знаком перехода в данном случае является поведение m как функцииот Л. Чему равно полученное вами значение m для h = 0.2? Еслифункция m(h) двузначна, то какое значение m отвечает равновесно-му состоянию, т.е. абсолютному минимуму свободной энергии? Какое значение т соответствует метастабильному состоянию, т.е. локальному минимуму свободной энергии? Чему равны значения m для равновесного и метастабильного состояний при h - -0.2? Почему переход от положительных m к отрицательным отвечает фазовому переходу первого рода? Обратите внимание на то, что переходы первого рода обладают гистерезисом и свойства системы зависят от ее истории, например от того, является ли h возрастающей или убывающей функцией. Вследствие большого времени жизни метастабильных состояний в окрестности фазового перехода такие состояния можно ошибочно принять за равновесные. Поскольку вблизи непрерывного фазового перехода релаксация к равновесию становится очень долгой (см. задачу 16.12), система с непрерывным фазовым переходом может вести себя, как если бы она была в сущности в метастабиль-ном состоянии. По этой причине различить вид фазового перехода, обращаясь только к численным экспериментам, очень трудно.

д. Повторите описанное выше моделирование для т = 3.0, т.е. для температуры выше т. Почему ваши результаты отличаются от результат моделирования в п.п. «а»— «в», выполненных для т < Г?

Модель Изинга может описывать и другие системы, которые, как может показаться, имеют мало общего с ферромагнетизмом. Например, мы можем интерпретировать модель Изинга как «решеточный газ», в котором состояние «вниз» обозначает узел решетки, занятый атомом, а состояние «вверх» —свободный узел. Каждый узел решетки может быть занят не более чем одним атомом. «Спины» взаимодействуют со своими ближайшими соседями, как раньше. Решеточный газ представляет собой грубую модель поведения реального газа атомов и имеет историческое значение как модель фазового перехода газ—жидкость и критической точки. Какие свойства решеточного и реального газов одинаковы? Какие свойства реального газа не учтены в решеточном газе?

Важным различием ферромагнетика и решеточного газа является то, что в последнем полное число атомов фиксировано, тогда как в ферромагнетике число спинов, находящихся в состояниях «вверх» и «вниз», может меняться. Поэтому для решеточного газа мы больше не вправе использовать динамику опрокидывания спина. Вариант динамики, при которой действительно сохраняется число спинов, ориентированных вверх и вниз, называется динамикой спинового обмена. В этой динамике производится пробный обмен двух ближайших соседних спинов, а изменение энергии Д£ вычисляется. Критерий принятия или отвержения пробного изменения совпадает с использованным ранее. Какой физический процесс происходит в решеточном газе, если обмениваются два спина, один из которых ориентирован вверх, а другой вниз?