ЗАДАЧА 16.14. Моделирование решеточного газа

а.         Модифицируйте свою программу модели Изинга таким образом,чтобы вместо динамики опрокидывания спина использовалась динами-ка спинового обмена. Например, определите возможные значения Д£на квадратной решетке, массив возможных значений вероятности пе-рехода до и замените способ, которым осуществляется пробное изме-нение. Заметим, что число занятых узлов является сохраняющейсяпеременной и должно задаваться изначально. Если нас интересуюттолько средние значения статических величин, таких, как полнаяэнергия, мы можем уменьшить время счета, отказавшись от обменаодинаковых спинов. Можно, например, завести список «связей» меж-ду занятыми и свободными узлами и производить пробные перемеще-ния, выбирая связи из этого списка случайным образом. Однако,поскольку мы будем рассматривать только небольшие решетки, реко-мендуется не беспокоиться о хранении указанного списка и стро-ить пробное перемещение, выбирая просто спнн и один из его бли-жайших соседей случайным образом.

б.         Рассмотрите квадратную решетку с l = 8 и 32 узлами, в началь-ный момент занятыми. Определите среднюю энергию для т в диапазо-не от 1.0 до 4.0. Изобразите зависимость средней энергии от тем-пературы. Создается ли впечатление, что энергия изменяется не-прерывно?

в.         Повторите вычисления п. «б» с 44 занятыми в начальный моментузлами. Изобразите зависимость средней энергии от т. Меняется лиэнергия непрерывно? Наблюдаете ли вы какие-нибудь признаки фазо-вого перехода первого рода?

г.         Поскольку спины соответствуют атомам, мы можем вычислить ко-эффициент одночастичной диффузии атомов. (Похожее моделированиесм. в задаче 11.9.) Заведите массив для регистрации положениякаждого спина (атома) как функции времени.  Примите за нуль от-счета времени какакой-нибудь момент после достижения равиовесно-го состояния и вычислите <R(t)> —средний квадрат суммарного смещения на атом за t единиц времени. Если атомы испытывают случайное блуждание, коэффициент самодиффузии D в пределе t —» со определяется выражением D - (1/2Л) <R(t)> . Оцените величину D для разных температур и разного количества занятых узлов.

Хотя, по всей видимости, вы лучше знакомы с ферромагнетизмом, в действительности природа предоставляет нам больше примеров антиферромагнетизма. На языке модели Изиига антиферромагнетизм означает, что ближайшие соседние спины предпочитают ориентироваться в противоположных направлениях и параметр взаимодействия / отрицателен. Как мы увидим в задаче 16.15, антиферромагнитная модель Изинга на квадратной решетке по свойствам сходна с ферромагнитной моделью Изинга. Например, при нулевом магнитном поле энергия и удельная теплоемкость у них точно такие же и система обнаруживает фазовый переход при температуре Нееля Т^. С другой стороны, полная намагниченность и восприимчивость антиферромагнетика не проявляют никаких критических свойств вблизи 7"^ Можно, однако, определить для квадратной решетки две подрешетки, как показано на рис. 16.4, и ввести «клеточную намагниченность» М^, равную разности намагниченности этих двух подрешеток. Температурная зависимость М и соответствующая клеточная восприимчивость % совпадают с аналогичными величинами в ферромагнитной модели Изинга.