ЗАДАЧА 16.15. Антнферромагннтная модель Изинга

Поскольку в программе Ising величина / не присутствует явно, для моделирования антиферромагнетика нам надо поменять знак в вычислениях энергии. Это можно сделать, заменив в программе конструкцию spin(x,y)*sum на -spin(x,y)*sum везде, где она встречается. Для расчета клеточной намагниченности иа квадратной решетке в качестве одной подрешетки мы определяем узлы (х,у), для которых mod(x,2) + mod (у,2) = 1, а другая подрешетка образуется остальными узлами.

а.         Модифицируйте программу Ising для моделирования антиферромаг-нитной модели Изинга на квадратной решетке. Рассмотрите L = 16,h = 0 и в качестве начального условия задайте все спины ориенти-рованными вверх. Какая конфигурация спинов отвечает состоянию снаименьшей энергией? Вычислите температурные зависимости среднейэнергии, удельной теплоемкости, намагниченности и восприимчи-вости. Усматриваются ли на какой-нибудь из этих температурныхзависимостей признаки фазового перехода?

б.         Вычислите температурную зависимость и клеточной восприим-чивости X' определяемой формулой [см. (16.156)]

Удостоверьтесь, что температурная зависимость М для антиферромагнитной модели Изинга совпадает с температурной зависимостью М в ферромагнитной модели Изинга. Могли бы вы предсказать такое сходство, не проведя моделирования?

в.         Вероятно, вы обратили внимание на то, что в п. «а» темпера-турная зависимость функции х обнаруживает точку заострения. Вы-числите х Для разных значений L при Т = Т^ = 2.269. Проведитеперемасштабирование и покажите, что х не расходится.

г.         Рассмотрите поведение антиферромагнитной модели Изинга натреугольной решетке. Задайте L = 16 и вычислите те же величины,что и в п. «а». Наблюдаете ли вы какие-нибудь признаки фазовогоперехода? Изобразите несколько конфигураций системы, относящихсяк разным температурам. Наблюдаете ли вы при низких температурах

признаки множества малых доменов? Можете ли вы изобразить конфигурацию основного состояния? Единственное ли оно? Если вы не в силах найти единственное основное состояние, вы терпите то же фиаско, что и индивидуальные спины в треугольной антиферромагнитной модели Изинга. (В данном случае термин «потерпеть фиаско» описывает тот факт, что в треугольной решетке нет ни одной конфигурации, в которой в направлении какой-нибудь оси спины попеременно меняли бы знак.)

Другим важным применением модели Изинга является изучение разделения фаз в бинарном А —В-сплаве. Например, сплав, названный |3-ла-тунью, имеет низкотемпературную упорядоченную фазу, в которой оба компонента (медь и цинк) имеют одинаковые концентрации и образуют структуру хлорида цезия (см. книгу Киттеля). По мере увеличения температуры некоторые атомы циика меняются местами с атомами меди, но система остается все еще «упорядоченной». Однако при температуре выше критической (Т = 742 К) атомы цинка и меди перемешиваются и система «разупорядочивается». Этот переход является примером фазового перехода порядок — беспорядок. Как можно применить модель Изинга для перехода порядок—беспорядок?

Модель Изинга является лишь одной из нескольких моделей магнетизма. Модели Гейзенберга, Поттса, х—у и Ашкина—Теллера представляют собой примеры других моделей магнитных веществ и хорошо знакомы исследователям конденсированных сред. Моделирование методом Монте-Карло этих и других моделей внесло важный вклад в развитие нашего понимания фазовых переходов как в магнитных, так и в немагнитных веществах.