ЗАДАЧА 16.18. Моделирование простых жидкостей и твердых тел методом Монте-Карло

а.         Рассмотрим простую модель системы многих частиц, взаимодейст-вующих с потенциалом (16.33). Такую модель часто называют леи-иард—джонсовской, чтобы отличать ее от более реалистичных моде-лей жидкостей. Модифицируйте программу hard_disk, чтобы можнобыло вычислять среднюю энергию, давление и двумерную леннард —джоисовскую парную корреляционную функцию с помощью алгоритмаМетрополиса. (Само собой, напишите подпрограмму вычисления на-чальной потенциальной энергии взаимодействия.) Для простоты вы-числяйте средние после каждого шага Монте-Карло на частицу. Ис-пользуйте безразмерные единицы Е* = Е/е, Т = k^T/c и р* = р/о2.Какое будет при этом определение Р*? (Не забудьте, что для иде-ального газа PV = NkBT.)

б.         Прежде чем применять алгоритм Метрополиса при Т" * 0, нужнонайти £*—энергию основного состояния на частицу при 7* = 0.Чтобы выполнить это вычисление по программе, разработанной вамив п. «а», поместите перед инструкциями, содержащими переменнуюbeta, признаки комментария (!). Тогда перемещения будут прини-маться только в том случае, если потенциальная энергия убывает.Возьмите N = 16, Lx = 4.5, Ly = 6.0*sqrt(3)/2 и разместите час-тицы на треугольной решетке. Поскольку данная конфигурация час-тиц близка к равновесной, нет необходимости усреднять £* болеечем по десяти шагам Монте-Карло на частицу.

в.         Используйте те же начальные условия, что в п. «б», но примите7* = 1.5. Возьмите dxmax = dymax = 0.15, nmcs ^ 100 и dr = 0.1.Вычислите среднюю энергию на частицу Е*. Повторите моделированиедля 7* = 2.5 и 7* = 3.5. Как предсказывает гармоническая теориятвердого тела, полная энергия системы определяется вкладом членас Г = 0 и члена, отвечающего гармоническим колебаниям атомов.Вклад этой последней части должен быть пропорционален температу-ре. Сравните свои результаты для температурной зависимости Е* сэтим предсказанием.

г.         Опишите качественный вид g{r) для твердого тела Леннарда —Джонса. Сопоставьте это с вашими результатами для g(r), получен-ными для твердых дисков. Для определения среднего давления вос-пользуйтесь формулой (16.29).

д.         Чему равны соответствующие температура, энергия и давление вединицах CGS в проведенных выше вычислительных экспериментах длятвердого аргона?

е.         Уменьшите плотность, умножая Lx, Ly и все координаты частицна 1.5. Оцените число шагов Монте-Карло на частицу, необходимоедля получения Я* и £* при 7* = 3.5 с точностью 10%. Сравните Р*и £* с соответствующими значениями для идеального газа. Положи-тельна ли полная энергия или отрицательна? Следуя методу, рас-смотренному в задаче 16.17, вычислите эффективный коэффициентдиффузии. Является ли система жидкостью или твердым телом?Постройте график функции g(r) в зависимости от г/с и сравнитеg(r) с результатами, полученными для твердых дисков при той жеплотности. Моделирование систем большего размера позволяет вы-числить g(r) для больших значений г. Если позволяет время, рас-смотрите Л' = 36 и вычислите g(r) при той же плотности и темпера-туре. Как качественно ведет себя g(r)7 Как интерпретировать пикина g(r) с точки зрения структуры жидкости?

ж.        Вычислите среднюю энергию, давление и функцию g(r) для Lx == 10, Ly = 10, dr = 0.1, dxmax = dymax = 1.0, nmcs ^ 100 и T == 3.0. Эти условия отвечают разреженному газу. Как ваши резуль-таты для давления соотносятся с результатом для идеального газа?Как g(r) соотносится с результатами, полученными вами для жидко-сти?

'ЗАДАЧА 16.19. Обратный степенной закон взаимодействия

Рассмотрим потенциал, обратно пропорциональный степени расстояния

Система твердых сфер представляет собой частный случай (16.34) при п —» со. Какие фазы, по вашему мнению, будут наблюдаться при произвольных п? Сравните качественные особенности g(r) для «мягкого» потенциала, скажем с п = 4, со случаем твердых дисков при одинаковой плотности.