17.1. ВВЕДЕНИЕ

До сих пор мы моделировали поведение физических систем с помощью методов Моите-Карло и молекулярной динамики. В методе молекулярной динамики рассчитывается зависимость от времени классической траектории (координата и импульс) каждой частицы. Однако для квантовых систем нельзя пользоваться методами молекулярной динамики, так как координата и импульс частицы не могут быть точно определены одновременно. Поскольку фундаментальное описание природы по сути является кваитовомеханическим, то возникает проблема, которая заключается в том, что невозможно в конечном счете промоделировать природу на компьютере.

Конечно, квантовая механика позволяет иам анализировать вероятности. Чтобы понять трудности, связанные с таким анализом, рассмотрим сначала простую вероятностную систему, описываемую одномерным уравнением диффузии (см. гл. 11)

где Р(х, t) — плотность вероятности того, что в момент времени t частица находится в точке с координатой х. Одни из способов вычисления P(x,t) основан иа дискретизации переменных х и t. Предположим, размер сетки по х выбирается из тех соображений, чтобы получить вероятность для m значений переменной х. Если выбрать значение m поряд-ка 10 , то понятно, что для прямого вычисления P(x,t) потребуется приблизительно 10 точек для каждого значения t. По сравнению с этим, для соответствующего расчета методом молекулярной динамики, использующим второй закон Ньютона, потребовалась бы одна точка.

Трудоемкость метода прямого вычисления становится еще более оче-видной, если у системы имеется много степеней свободы. Например,если имеется /У-частичная одномерная система, то нам нужно вычислятьвероятность Р(х^,х^        xN,t), где х.—координата i'-й частицы. По-скольку для каждой координаты х. необходимо выбрать m-точечную сет-ку, то в каждый момент времени t требуется точно определять Nm кон-фигураций. Обычно значение m выбирается того же порядка, что N, по-скольку бывает полезно знать вероятности в каждой точке пространст-ва. В результате для получения требуемой вероятности в каждый мо-мент времени необходимо рассчитывать порядка конфигураций. Сле-довательно,   удвоение размеров системы  N—*2N  приводит  к экспонен-

циалыюму росту машинного времени и объема требуемой памяти.

Хотя применение метода прямого расчета ограничивается системами с небольшим числом степеней свободы, простота этого метода поможет нам понять поведение одномерных квантовых систем. После краткого изложения общих свойств кваитовомеханических систем в разд. 17.2 мы рассмотрим этот метод в разд. 17.3 применительно к стационарному уравнению Шредингера. В разд. 17.4 мы используем решения для стационарных состояний и принцип суперпозиции для построения решений нестационарного уравнения Шредингера в виде волновых пакетов.

Сушествуют ли другие методы описания систем, имеющих вероятностную природу? Поскольку мы уже познакомились с тем, как уравнение (17.1) можно сформулировать в виде задачи случайного блуждания, вас не должно удивлять то, что уравнение Шредингера можно исследовать аналогичным методом. В разд. 17.5 мы познакомимся с методами Моите-Карло для квантовых систем. В разд. 17.6 также используются методы Монте-Карло для получения вариационных решений основного состояния.