17.2.    ОБЗОР КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Для простоты рассмотрим одномерные нерелятивистские квантовые системы, состоящие из одной частицы. Состояние системы полностью описывается волновой функцией 9(x,t), которая интерпретируется как амплитуда вероятности. Поскольку частица может находиться в любой точке пространства, то P(x.t)dx — вероятность того, что частица находится в элементе «объема» dx с центром в точке х в момент времени t, — равна

где С —нормировочная постоянная. Вероятностная интерпретация 9(x,t) означает, что удобно использовать нормированные волновые функции, удовлетворяющие условию

где Ч?(х, t) —функция комплексно-сопряженная 9(x,t). Тогда постоянная С в выражении (17.2) равна 1.

Если частица движется в потенциале V(x,t), то временная эволюция функции 9(x,t) описывается нестационарным уравнением Шредингера

где т — масса частицы, a h—постоянная Планка, поделенная иа 2тг.

Физические величины, такие, как импульс, можно представить операторами. Математическое ожидание, или среднее значение наблюдаемой величины А определяется выражением

где ^ор~оператор, соответствующий величине А. Например, оператор, соответствующий импульсу р, имеет вид рор = -thd/dx.

Если потенциал не зависит от времени, то для уравнения (17.4) можно получить решения вида

Частица, находящаяся в состоянии (17.6), имеет вполне конкретное значение энергии Е. Если подставить выражение (17.6) в (17.4), то получим стационарное уравнение Шредингера

Заметим, что ф(х) — собственная функция оператора Гамильтона (гамильтониана)

соответствующая собственному значению Е, т.е.

Чтобы различать возможные значения энергии Е, будем отмечать состояния ф индексом п.

Общее решение Ф(*,г) можно выразить в виде суперпозиции собственных функций оператора, отвечающего той или иной физической наблюдаемой величине. Например, если Я не зависит от времени, то можно записать

где ^—собственные функции оператора Я, а знак 7J обозначает сумму по всем дискретным состояниям и интеграл по непрерывному спектру. Коэффициенты сп в формуле (17.10) можно определить из значения V(x,t) в любой момент времени t. Например, если иам известна Ф(*,г) при t - 0, то можно воспользоваться свойством ортогональности собственных функций любого физического оператора и получить

Коэффициент сп можно интерпретировать как амплитуду вероятности измерения полной энергии, при котором получается значение Еп.