17.3.   СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Рассмотрим решения стационарного уравнения Шредингера (17.7), соответствующие связанным состояниям. Основной наш результат будет заключаться в том, что допустимые решения уравнения (17.7) существуют только тогда, когда собственные значения квантованы, т.е. ограничены дискретным набором энергий. Чтобы решение было допустимым, функции Фп(х) должны быть конечны для всех значений х и ограничены для больших значений |дг| так, чтобы функцию Фп(х) можно было нормировать. Для конечной функции V(x) требуется, чтобы функции Фп(х) и ф'(х) = йф (x)/dx были непрерывны, конечны и однозначны для всех х.

Поскольку стационарное уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением второго порядка, то для получения единственного решения необходимо, вообще говоря, задать два краевых условия. Для упрощения анализа рассмотрим симметричные потенциалы, удовлетворяющие условию

Как следует из условия (17.12), можно считать, что функции ф(х) обладают определенной четностью. Для четных решений ф(х) = ф(-х); для нечетных решений ф(-х) = -ф(х). Определенная четность ф[х) позволяет задать либо ф, либо ф' при х = 0.

Чтобы был понятен наш выбор подходящего алгоритма численного решения уравнения (17.7), напомним, что решение (17.7) с V(x) = 0 можно представить в виде линейной комбинации косинусов и синусов. Колебательный характер этого решения позволяет надеяться, что алгоритм Эйлера — Кромера, рассмотренный в гл. 3, будет давать удовлетворительные результаты и в случае V(x) * 0. Алгоритм Эйлера — Кромера реализуется следующим образом:

Разбиваем область изменения х на N отрезков длиной Lx. Введем следующие обозначения: х, = rLx, фг = 0(*г) и ф'г = ф'(х^.

Задаем четность функции ф(х). Для четного решения выбираем 0(0) = 1 и ф' = 0; для нечетного выбираем 0(0) = 0 и ф' = 1. Ненулевые значения 0(0) или ф' произвольны.

Задаем начальное приближение для Е.

Вычисляем Ф'г^ и 0г+), используя алгоритм:

5.         Проводим итерации ф(х) по возрастанию х до тех пор, пока ф(х)ие начнет расходиться.

6.         Изменяем величину Е и повторяем шаги (2)—(4). Окаймляем значе-ние Е, изменяя его до тех пор, пока при значении Е чуть меньшетекущего ф ие будет расходиться в одном направлении, а при зна-чении Е чуть больше —в противоположном направлении.

Данная процедура реализована в программе eigen для прямоугольной потенциальной ямы, описываемой формулой

В качестве входных параметров задаются V0 и а, четность собственной функции, предполагаемое значение энергии Е, величина шага Lx н хтах—максимальное значение х, отражаемое на графике.

Подпись: