ЗАДАЧА 17.1. Бесконечная прямоугольная потенциальная яма

а.         Рассмотрите бесконечную прямоугольную потенциальную яму, нли«задачу о частице в ящике», с потенциалом V(x) в форме (17.14)при   Vn —» «о.   Покажите   аналитически,   что   собственные значения

о о о о

энергии равны Е = п it fr/8mo , где п—натуральное число. Покажите также, что нормированные собственные функции имеют вяд

Какова четность основного состояния? Почему волновая функция основного состояния не имеет ни одного узла?

б.         Положите а = 1 и VQ = 150 и с помощью программы eigen найдитеэнергию основного состояния Е^ частицы в бесконечной прямоуголь-ной потенциальной яме. Во всех задачах выбрана такая системаединиц, что т = h = 1. Положите Lx = 0.01 и хтах = 5; количествоотрезков N равно N = хтах/'dx. Попробуйте начальные приближенияэнергии Е = 1.5 и Е = 1.0. Как узнать, что энергия основного со-стояния лежит между этими значениями Е ? Сколько вам необходимопопыток для получения      с двумя десятичными знаками?

в.         Влияет ли выбор Ах на численное значение Е^ Определите вели-чину шага Lx, при котором Е^ получается с тремя десятичными зна-ками. Достаточно ли велико значение UQ, чтобы значение Е^ можнобыло считать приблизительно равным энергии основного состояниябесконечной прямоугольной потенциальной ямы? Зависит лн получен-ный результат для Е   от величины ф при х = 0?

г.         Напишите программу нормировки функции ф. Чему равно значение

ф при х = 0? Сравните полученную числеиио волновую функцию основного состояния с аналитическим решением.

д.         Если принять во внимание число узлов (нулей) функции ф, томожно найти собственные функции и собственные значения возбуж-денных состояний, применив метод, аналогичный использованномудля основного состояния. Например, первому возбужденному состоя-нию отвечает один узел и квантовое число п = 2. Модифицируйтепрограмму eigen так, чтобы в ией вычислялось число узлов, и най-дите первые два возбужденных состояния бесконечной прямоугольнойпотенциальной ямы.

е.         Предположим, вы хотите иайти собственное значение, соответст-вующее десятому возбужденному состоянию частицы в потенциальнойяме. Можно ли использовать то же значение V0, что и в п. «б»?

Заметим, что невозможно получить численное решение для функции ф, которое не расходилось бы при достаточно больших значениях х. Иначе говоря, поскольку ф можно вычислить только с конечной точностью, вычисляемая функция ф всегда будет расходиться, если выполнить достаточно много шагов. Однако всегда можно вычислить ф с требуемой точностью, выбрав надлежащий алгоритм и достаточно малый шаг.