17.4.   НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Хотя нам удалось, используя численные методы, проинтегрировать «обыкновенное» дифференциальное уравнение (17.7), решить численно нестационарное уравнение Шредингера (17.4) уже не столь просто.

Первый шаг «наивного» метода численного решения нестационарного

уравнения Шредингера заключается во введении сетки для временной координаты так же, как для пространственной. Воспользуемся обозначениями tn = t0 + ntt, xr = xQ + rLx н Ф.(п) = 4(rn,tn). Задача заключается в построении алгоритма, который связывает Фг(п + 1) со значением Фг(п) для каждого значения Xf. Примером алгоритма первого порядка точности по времени является

где б ФДп) представляет собой конечно-разностную аппроксимацию второй производной Ф по х:

Этот метод является примером явной схемы, поскольку, зная Ф в момент времени <п, можно вычислить значение i в момент времени <n+J. К сожалению, этот явный метод приводит к неустойчивым решениям, т.е. численное решение Ф отклоняется от точного (см. книгу Куннна).

Одни из способов избежать указанного явления состоит в том, что не меняя формулу схемы (17.18), вычислять производную по координате в правой части в момент времени t  у а не t^.

Уравнение (17.20) представляет собой неявную схему, поскольку неизвестная функция Ф(п + 1) входит в обе части. Для получения значений Ф(п+1) необходимо на каждом шаге по времени решать систему линейных уравнений. Дополнительные детали этого метода и доказательство того, что (17.20) дает устойчивые решения, можно найти в литературе, приведенной в конце главы.

Вместо данного прямого численного метода предположим, что нам уже известны собственные функции н собственные значения стационарного уравнения Шредингера. Наш подход будет состоять в том, чтобы построить зависимость от времени, используя эти собственные функции н собственные значения н применяя принцип суперпозиции. Будем рассматривать задачу о движении волнового пакета в окрестности потенциала.

Известно, что если V(x) не зависит от времени, то можно выразить произвольное   решение   нестационарного   уравнения   Шредингера   в виде

(17.10), где функции Фп(х) представляют собой решения уравнения Шредингера с потенциалом V(x) для стационарных состояний. Сначала рассмотрим движение свободной частицы. В этом случае собственные функции характеризуются волновым вектором k и пропорциональны exp(ikx) н exp (-ikx). Наша задача —построить волновой пакет, соответствующий частице, локализованной в окрестности точки х = х^ со средним импульсом hk^, направленным вправо. Один из способов построения такого волнового пакета состоит в составлении линейной комбинации плоских волн с весовой функцией

Величина N является нормировочной постоянной. Причины такой формы коэффициентов cfe и смысл величины а будут обсуждаться в задаче 17.5. Поскольку включить в сумму можно только конечное число плоских волн nfe, приближенная форма волнового пакета при / = 0 имеет вид

где суммирование проводится по kn = k0 + пЫг с _nfe/2 £ n £ п\/^" Поскольку собственные значения гамильтониана свободной частицы рав-

2 2

ны   Ek = h k /2т,   временная   эволюция   функции   Ф(х,/) определяется приближенным соотношением

В программе wavepacket используются выражения (17.21) и (17.23) для наблюдения за временной эволюцией волнового пакета в отсутствие потенциала. Из-за наличия комплексных чисел необходимо в языке True BASIC рассматривать отдельно вещественные и мнимые части cfe и Ф и использовать соотношение

Входными параметрами в программе wavepacket являются хО —координата центра  волнового  пакета  в  момент  времени  t = 0,   deltax — начальная

ширина пакета в пространстве координат, kO— средний импульс волнового пакета и n_k—число волновых векторов, учитываемых в сумме (17.23). Для каждого значения t функция %x,t) вычисляется в точках xr = х0 + rdx, где dx — входной параметр н ~\пх<г<\пх ^Р°~ грамма рисует график |Ф(д:,г)|2 для моментов времени от / = 0 до t = imax с шагом dt и для значений х, лежащих в интервале от xmin до хтах.

Подпись: