10.6.   АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО

Как метод Монте-Карло, так и классические методы численного интегрирования дают приближенные реультаты. Точность определяется числом испытаний в методе Монте-Карло и количеством отрезков разбиения в классических методах. В задаче 10.5 мы воспользовались знанием точных значений интегралов и установили, что погрешность метода Монте-

—1/5

Карло стремится к нулю при больших л приблизительно как л""". В дальнейшем мы оценим погрешность для случая, когда точный ответ неизвестен. Наш основной результат состоит в том, что зависимость погрешности от п не чувствительна к виду подынтегральной функции и, что наиболее ценно,   не зависит от кратности  интеграла.   Поскольку в

задаче 10.3 мы нашли, что погрешность метода Симпсона для одномер-

-4

ного интеграла пропорциональна л , то делаем вывод, что для интегралов небольшой размерности стандартные численные методы, такие, как формула Симпсона, обычно предпочтительнее методов Монте-Карло, если область интегрирования не очень сложна. Однако поскольку с ростом размерности погрешность стандартных численных методов увеличивается (см. приложение 10А), то для интегралов большой размерности главными являются методы Монте Карло.

Так как нахождение надлежащей меры погрешности в расчетах методом Монте-Карло является тонким делом, получим эту погрешность иа конкретном примере. Вычислим методом Монте-Карло интеграл от функции /(х) = 4v 1-х2 на отрезке [0, 1]. Результат наших вычислений, полученный методом выборочного среднего для конкретной последовательности л = 10 000 случайных чисел, равен F = 3.1489. Сравнивая эту оценку с точным ответом F = и я 3.1416, находим, что соответствующая погрешность для случая л = 10 000 испытаний приблизительно составляет 0.0073. Как соотносится наше значение F с результатом, полученным вами в задаче 10.5 с тем же значением л? Мы знаем, что если подынтегральная функция не равна константе, то F не будет, вообще говоря, равно F. Как можно узнать, достаточно лн л = 10 000 испытаний для достижения требуемой точности? Сколь малым можно ожидать отличие F   от F для данного значения л? Конечно, мы не можем

л

ответить на этн вопросы со всей определенностью, поскольку если бы фактическая погрешность F была известна, то можно было бы внести в F соответствующую поправку и получить F. Самое лучшее, что мы можем сделать, — это вычислить вероятность того, что истинное значение F лежит в некотором интервале с центром в F .

Одной возможной мерой погрешности, которая, по-внднмому, хорошо вам знакома, является дисперсия о*2, определяемая выражением

где  н

Величина с называется стандартным отклонением. Нам известно, что если бы / не зависела от х, то с равнялось бы нулю. Для нашего примера и той же последовательности случайных чисел, которая использовалась для вычисления F , получаем с = 0.8850. Поскольку фактическая погрешность, как мы знаем, гораздо меньше с, то напрашивается вывод, что с не может быть непосредственной мерой погрешности.

Одним из условий, которому должна удовлетворять мера погрешности, является ее убывание с ростом п. Как вы считаете, будет ли о", определенная выражением (10.18), убывать с ростом л? Один из способов получения оценки погрешности заключается в проведении серии дополнительных расчетов по п испытаний в каждом. Каждый такой расчет дает среднее значение, нлн измерение, которое мы обозначим М . Эти измерения, вообще говоря, не будут одинаковыми, поскольку каждое измерение производится со своей последовательностью случайных чисел. Качественно величина разброса измерений служит мерой погрешности одного измерения. Предположим, имеется набор из m измерений {Лу, состоящих из одинакового числа испытаний. Удобной мерой разброса этих измерений является стандартное отклонение средних 0"т, которое мы определим как

где  и

Чтобы лучше уяснить смысл с , найдем оценку с , проведя m = 10 измерений. В результате каждого измерения, состоящего нз п = 10 000 испытаний, получаются свои значения среднего М и ст. Найденные значения М и (г для каждого измерения приведены в табл. 10.2.

Из табл. 10.2 видно, что в разных сериях измерения М отличаются. Исходя из значений М в табл. 10.2 и соотношения (10.20), получаем оценку для о- :

Это значение &т согласуется с полученным выше результатом для по-грешности, равной 0.0073. Отсюда можно заключить, что стандартноеотклонение средних с представляет собой меру погрешности одногоизмерения. Более точная интерпретация 0"т состоит в том, что с веро-ятностью 0.68 значение F (т.е.            отличается от «истинного» сред-него не более чем на с . Следовательно, вероятная ошибка нашегопервого измерения F  с и = 10 000 составляет 3.14910.007.

Хотя «г дает нам оценку вероятной ошибки, наш метод получения о* , требующий проведения дополнительных измерений, не используется. В приложении 10Б мы приводим аналитический вывод соотношения

Данное соотношение между с и с в пределе очень большого числа измерений превращается в точное равенство. Заметим, что из (10.23) следует, что вероятная ошибка убывает как корень квадратный из числа испытаний. В случае нашего примера находим, что вероятная ошибка первоначального измерения приблизительно равна 0.8850/100 " 0.009, что согласуется с известной ошибкой 0.007 и с нашей оценкой с ~ ~ 0.007.

Один из способов убедиться в правильности соотношения (10.23) основан  не на проведении дополнительных измерений,   а на разбиении

начального измерения из п испытаний на s групп. Обозначим среднее значение функции f(x.) в каждой из s групп через / и проанализируем отклонения F по каждой группе. Например, разобьем 10 ООО испытаний первого измерения на s = 10 групп по п/s = 1000 испытаний в каждой. Значения /  приведены в табл. 10.3.

Заметим, что, как и ожидалось, средние значения \(х) для каждой группы различны. В качестве меры погрешности разумно взять стандартное отклонение средних каждой группы. Обозначим эту величину <г.

где усреднение выполняется по всем группам. Из табл. 10.3 получаемо- = 0.025. Хотя 0"s можно рассматривать в качестве вероятной ошиб-ки, мы видим, что эта величина почти в три раза превышает оценку0.009, приведенную в (10.22). Кроме того, необходимо получить оцен-ку ошибки, которая не зависит от разбиения данных на группы. Такойвеличиной является не o"s, а отношение        которое в нашем приме-

ре приблизительно равно 0.025/3.16 ~ 0.008. Это значение согласуется с 0"т и отношением ovVn. Значит, п испытаний можно интерпретировать либо как одно измерение, либо как набор s измерений. В первой интерпретации вероятная ошибка равна стандартному отклонению для п испытаний, поделенному на квадратный корень из числа испытаний. Аналогично вторая интерпретация означает, что вероятная ошибка равна стандартному отклонению s измерений /s, поделенному на квадратный корень из числа измерений.

Заметим, что ошибку можно сделать сколь угодно малой, либо увеличивая число испытаний, либо повышая «эффективность» испытаний и посредством этого уменьшая стандартное отклонение сг. Некоторые методы уменьшения дисперсии рассматриваются в разд. 10.8 — 10.9.