ЗАДАЧА 17.5. Движение свободного волнового пакета

а. Приведите явный формулы для коэффициентов cfc, использованных в программе wavepacket? Прн каком значении k коэффициент с. мак-сималеи? При каком значении k величина |cfe|   в е раз меньше сво

его максимального значения? Что целесообразно считать шириной |cfe| ? Как в программе wavepacket определяется ширина пакета в fe-пространстве? Как обосновать соотношение dk = 2/delta_x*n_k, используемое в программе wavepacket? Напомним, что мы приняли систему единиц с h = т = 1.

б.         Используя программу wavepacket, проследите за движением сво-бодной частицы в области без потенциала. Задайте xmin = -10,хтах = 10, х0 = -7, delta х =1, dx = 0.5, k0 = 2, n_k = 20,dt = 0.5 и tmax = 10. Как меняется форма волнового пакета с те-чением времени? Зависит лн форма волнового пакета от выбора па-раметров dx и n_k?

в.         Модифицируйте программу wavepacket так, чтобы можно было не-посредственно измерять зависимость от времени величин x0(t) иЛх(г)— координаты и ширины пакета. Как имеет смысл определитьЛх(г)? (Выберите такое определение hx(t), чтобы Lx(t = 0) == delta_x.) Как качественно зависят xn(f) и Ллс(г) от г? Как из-менятся ваши результаты, если начальную ширину волнового пакетауменьшить в четыре раза?

Теперь проследим за движением волнового пакета при наличии потенциала.   Необходимо  заменить  собственные функции  exp (ikx)  в фор-

о

муле(17.23) на собственные функции гамильтониана Н = р /2т + V(x). Рассмотрим одномерный потенциальный бариер при х = 0:

Собственные функции при Е > V0 имеют вид

где

Если е < Vq, то решение является аналитическим продолжением функции (17.26) с заменой —»йс. Основное изменение, которое необходимо сделать в программе wavepacket, заключается в замене подпрограммы free подпрограммой step. Заметим, что в подпрограмме step форма собственных функций зависит от положения и энергии волнового пакета относительно барьера.

ЗАДАЧА 17.6. Падение волнового пакета на потенциальный барьер

а. Воспользуйтесь программой wavepacket, заменив в ней подпрограмму free иа подпрограмму step, и рассчитайте движение волнового пакета, падающего на потенциальный барьер, расположенный при х = 0. Положите xmin = -10, хтах = 10, х^ = -7, delta_х = 1, dx = 0.5, k0 = 2, n_k = 20. dt = 0.5, tmax = 10 и высоту барьра V0 = 2. Качественно опишите движение волнового пакета. Сохрани ется лн форма пакета гауссовой для всех / ? Измерьте высоту и ширину отраженного и проходящего волновых пакетов. Определите время /(. столкновения падающей волны с барьером в точке х = 0. Распадается ли частица на части при х = 0? Определите время / , за которое отраженная волна возвращается в точку х = х^. Выполняется лн равенство t. = t? Если эти времена не равны, объясните причину расхождения.

б.         Проведите аналогичное исследование для значения V0 = 10. Вы-полняется ли условие t. ~ tr в этом случае?

в.         Как движется классическая частица с кинетической энергией,соответствующей центральному волновому вектору k = /г0?