17.5.   АНАЛИЗ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ

Познакомимся теперь с методом Монте-Карло, в основе которого лежит связь уравнения Шредингера с процессом диффузии в мнимом времени. Наш метод следует статье Андерсона (см. список литературы). Чтобы понять указанную связь, произведем в нестационарном уравнении Шредингера для свободной частицы замену т = it/h и получим

Заметим, что уравнение (17.29) совпадает по форме с уравнением диффузии (17.1) и, следовательно, мы можем интерпретировать волновую функцию как плотность вероятности диффузионного процесса с коэффи-циентом диффузии D - Ь /2т.

Может показаться, что формальная аналогия между процессом диффузии и уравнением Шредингера для свободной частицы только усложнит решение последнего. Однако вспомним, что в гл. 11 мы установили возможность использования метода случайного блуждания для моделирования решения уравнения диффузии. Следовательно, вместо того, чтобы решать непосредственно уравнение Шредингера, можно заменить его иа эквивалентную задачу о случайном блуждании.

Поскольку уравнение Шредингера линейно, можно представить себе не одного пешехода, а много пешеходов, которые движутся независимо друг от друга. Как можно объяснить роль потенциальной энергии V(x)7 Перепишем уравнение Шредингера в следующем виде:

Если бы член УФ отсутствовал, то выражение (17.30) было бы обычным уравнением диффузии. С другой стороны, если бы в правой части был только один член УФ, то (17.30) можно было бы понимать как кинетическое уравнение, описывающее ветвящиеся процессы, такие как радиоактивный распад или экспоненциальные процессы рождения и смертности в популяции. Следовательно, в целом это уравнение можно трактовать как комбинацию диффузионного и ветвящегося процессов, в которых число пешеходов увеличивается или уменьшается в точке х в зависимости от знака функции V(x). Заметим,  что в диффузионной интерпре

тации требуется, чтобы амплитуда вероятности была неотрицательной.

Теперь, когда мы начали понимать правила игры, давайте посмотрим, как можно определить волновую функцию и энергию основного состояния. Известно, что если провести замену т = it/b, то общее решение уравнения Шредингера можно записать [см. (17.10)] в виде

Для достаточно больших т основной вклад в сумму (17.31) дает член, соответствующий состоянию с наименьшей энергией. Отсюда, имеем

Из соотношения (17.32) видно, что пространственная зависимость рас пределения вероятностей случайных пешеходов для больших значений т пропорциональна собственной функции основного состояния ф0. Однако мы также видим, что плотность вероятности Ф(х, t) того, что пешеход находится в точке х, в конце концов стремится к нулю, если ЈQ не равно нулю. Эту проблему можно обойти, отсчитывая ЈQ от произвольной начальной энергии V^, которая выбирается так, чтобы достигалось приблизительно стационарное распределение.

Разработаем метод нахождения энергии основного состояния. Хотя можно попытаться подогнать зависимость от t вычисляемого распределения вероятностей случайных пешеходов под формулу (17.32) и исключить Eq, эта процедура не привела бы к получению точных значений энергии основного состояния ЈQ. В дальнейшем мы покажем, что £"0 можно найти из соотношения

где п.—число пешеходов, находящихся в точке х. в момент времени т. Тогда можно получить оценку для ЈQ, вычисляя сумму в (17.33) для нескольких значений т, если получено стационарное распределение.

Для вывода формулы (17.33) перепишем (17.30) и (17.32) в явном виде, вводя начало отсчета потенциала (опорный потенциал) Vге£

и

Проинтегрируем сначала (17.34) по х. Поскольку dWdx при |х| —> со стремится к нулю, получим

Если продифференцировать выражение (17.35) по т, то получим соотношение

Подставим выражение (17.37) дляв (17.36) и получим

Следовательно,   если  в (17.38)  сократить  члены,   содержащие Vтеу т0 получим

или

Искомый результат (17.33) получается отсюда связыванием функции %х) с числом пешеходов в точке х.

Хотя вывод формулы (17.33), возможно, показался довольно сложным, правила случайного блуждания просты:

Помещаем        пешеходов в начальные точки х^ где х. необязательно совпадают с узлами сетки.

Вычисляем опорный потенциал

Случайным образом передвигаем пешехода вправо или влево на заданный шаг As. Длина шага As связана с шагом по времени Ат со-отношением (As) = DAt. (Заметим, что D = ^ в системе единиц с fi = т = 1.)

Вычисляем LV = [V(x) - V ,]Ат и случайное число г на отрезке [О, 1]. Если LV > 0 и г < LV, пешеход удаляется. Если AV < 0 и г < -LV, то добавляем другого пешехода в точку х. (Эта процедура является точной только в пределе бесконечно малого шага по времени.)

Повторяем шаги 3 —4 для каждого из N0 пешеходов. Затем заменяем опорный потенциал на

где N — новое число пешеходов, a <V>— средняя потенциальная энергия N пешеходов. Это среднее значение V представляет собой оценку энергии основного состояния.

Повторяем шаги 3—5 до тех пор, пока энергия основного состояния не достигнет стационарного значения со случайными флуктуациями. Затем усредняем эти оценки по многим испытаниям для получения средней энергии основного состояния и рассчитываем распределение случайных пешеходов.

В программе qwalk данный алгоритм реализован для потенциала гармонического осциллятора. Пешеходы распределяются случайным образом на расстоянии srange от начала координат. Другими входными параметрами являются N—требуемое число пешеходов, atrial — число испытаний на одного пешехода и ds — размер шага. Программа выводит десять значений энергии, каждое из которых получено усреднением по 10% испытаний. Первые 10% испытаний при усреднении не учитываются.

Подпись:

Подпись: