17.6.   ВАРИАЦИОННЫ?: МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕГКИХ СИСТЕМ

Другой подход к моделированию квантовомеханических систем заключается в использовании вариационного метода для получения верхних границ значений энергии основного состояния. Такой вариационный метод имеет многочисленные приложения, особенно в атомной и молекулярной физике, ядерной физике и физике конденсированного состояния. Поскольку вариационный метод рассматрен в нескольких учебниках, мы только кратко опишем здесь основы этого метода. Затем обсудим некоторые методы Монте-Карло для реализации вариационного метода.

Рассмотрим физическую систему с гамильтонианом Нор вида (17.8). Предположим, что собственные значения и соответствующие собственные функции ф^ не известны. Вариационный принцип утверждает, что для произвольной функции ф(х) выполняется неравенство

где Јq — энергия основного состояния системы. Это неравенство превращается в точное равенство только в том случае, когда ф(х) является собственной функцией гамильтониана Н, соответствующей собственному значению ЈQ. Величину <Н> можно трактовать как математическое ожидание полной энергии для приближенной волновой функции ф(х).

Неравенство (17.44) лежит в основе вариационного метода. Процедура состоит в выборе пробной волновой функции, форма которой физически обоснована и которая зависит от одного или более параметров. Вычисляется величина <Н> и параметры варьируются до тех пор, пока не получится минимальное значение <Н>. Это значение <Я> представляет собой верхний предел истинной энергии основного состояния.

Сначала опишем метод Монте-Карло для получения пробных волновых функций для систем малой размерности. Для простоты рассмотрим одномерную систему и введем сетку с шагом Ах такую, что функция ф определена только в точках xf - rAx Процедуру метода Монте-Карло можно сформулировать следующим образом:

Выбираем правдоподобные значения функции ф в точках xf.

Выбираем случайную точку х^ и  изменяем  значение фг = ф(х^) на случайную величину из интервала [-5,6].

Вычисляем изменение А£ для <Н>.   Если А£ ^ 0,  то предпринятое изменение ф(х^) принимается, в противном случае оно отвергается.

Повторяем шаги 2 и 3 до тех пор, пока <Н> не перестанет существенно меняться.

Данная процедура реализована в программе variation для одномерных симметричных потенциалов. Вклад кинетической энергии при х - хт аппроксимируется выражением Фр-Фт ~ 0r+1 ~ Фг^)/[(2Ах)2]. Заметим, что поскольку кинетическая энергия зависит от кривизны функции ф, то изменение функции ф в точке х = хг меняет энергию не только в точке х = х , но   ив точках х = х , и х = х ,,.