ЗАДАЧА 17.13, Расчеты методом Монте-Карло прямоугольных потенциальных ям

а. Воспользуйтесь программой variation для оценки энергии основного состояния прямоугольной потенциальной ямы (17.14) с параметрами VQ = 2 и а = 1. Положите xmax =2, N = 40 и delta = 0.1 и рассмотрите начальные пробные волновые функции ф(х) = cos х, ехр (-х2/2) и 1. Какое из начальных приближений для функции ф дает более быструю сходимость к результату? Чему равна «глубина проникания» вычисленной волновой функции?

б.         Замените потенциал V(x) на

Как, по вашему мнению, будет зависеть энергия основного состояния от V? Предположите, что Vb « KQ, и найдите новую собственную функцию и собственное значение, начав с пробной функции ф(х) = cos х. Как соотносятся вычисленные значения с ожидаемыми? Изменяется ли глубина проникания в область > 1 за счет замены функции V?

в.         Рассмотрите двойную потенциальную яму (х > 0) вида

Постройте график функции V(x) и изобразите схематически на этом же графике форму начальной пробной функции основного состояния. Рассчитайте функцию основного состояния, используя значения параметров хтах = 4.5, N = 45, delta = 0.05 с начальной функцией ф = 1 при \х\ — 1.5 и ф = 0 при \х\ > 1.5. Постройте график получившейся оценки пробной волновой функции и сравните его с ожидаемой формой функции ф. Почему вы не получили разумную оценку функции ф?

г.         Повторите вычисления п. «в», но с начальной пробной функциейф = ехр (-х2) (положите delta = 0.05). Объясните, почему полу-ченные вами результаты для <Н> и ф отличаются от тех, которыеполучены в п. «в». Придумайте другой метод пробных измененийфункции ф, например одновременное изменение функции ф для многихзначений х, который ускорит сходимость результатов даже при пло-хом выборе начальной пробной волновой функции.

Вместо расчета функции ф на сетке можно предложить вариационный метод иа базе разложения ф по полному набору базисных функций / :

В этом методе Моите-Карло будет сохраняться конечное число членов в (17.47) и варьироваться коэффициенты сп до тех пор, пока не получится разумная оценка минимума <Н>. Хотя этот метод наиболее полезен в случае больших размерностей, мы рассмотрим его только для одномерного случая. Чтобы осуществить данную процедуру, необходимо вычислить матричные элементы вида

где Т и V—операторы кинетической и потенциальной энергии соответственно. Для полноты заметим, что матричные элементы <п\А\т> оператора А в одномерном случае определяется как

В случае больших размерностей пространства для вычисления матричных элементов можно воспользоваться методами Монте-Карло. Если матричные элементы известны, то математическое ожидание <#> вычисляется по формуле

Данный метод Монте-Карло использован в задаче 17.14..