ЗАДАЧА 17.14. Вычисление методом Монте-Карло энергии основного состояния для потенциала Морза

Рассмотрим потенциал Морза

для которого можно получить аналитические решения для собственных значений и волновой функции. Поскольку V(x) ~ х2 для малых значений х, разумно в качестве базисных функций выбрать решения соответствующей задачи о гармоническом осцилляторе:

Полиномы Эрмита имеют вид  Нормировочная постоянная Nn равна

Для данного выбора базисных функций матричные элементы 7' можно вычислить аналитически. В результате имеем

Матричный элемент V'     можно выразить через матричный элемент

а.         Убедитесь в правильности этих матричных элементов. Указание:для вычисления матричного элемента оператора V используйте соот-ношение

б.         Воспользуйтесь приведенными выше выражениями для матричныхэлементов и напишите программу, реализующую тот же алгоритм, чтои в программе variation. Иначе говоря, изменяем сп на произволь-ную величину из отрезка [-5,5], вычисляем А£ и принимаем пред-принятое изменение, только если А£ < 0. Положите начальные зна-чения с0 = 1 и сп = 0 для п * 0 и оставьте в суммах (17.50)только первые пять членов. Проведите несколько прогонов програм-мы и вычислите наилучшую оценку для энергии основного состоянияEq. Сравните свою оценку с точным результатом £0 ~ 0.582. Какизменятся ваши результаты, если в сумме сохранить десять членов?Предполагается, что в своих первых прогонах программы вы положи-ли 5 = 0.1. Как изменится оценка энергии основного состояния,если уменьшить 5?

Придумайте другие задачи, для которых соединение варнационного одхода с методами Монте-Карло даст полезные результаты. Для полу-ения еще лучшей пробной волновой функции имеется другая возмож-ость, состоящая в соединении вариационных методов Монте-Карло с |етодами случайного блуждания.