18.1.   ЕДИНСТВО ФИЗИКИ

Мы с вами рассмотрели уже множество тем и приложений, и все же это составляет лишь крохотную часть возможностей численного моделирования физического мира. Нам известно, однако, что одинаковые принципы и алгоритмы применяются ко многим типам явлений и, как убедительно выразился Фейнман, «одинаковые уравнения—одинаковые решения». Поэтому методы Моите-Карло, те же самые, которые мы применили для моделирования диффузии частиц в газе н для анализа квантовомеханичес-ких волновых функций, можно использовать и для диффузии нейтронов в графите. Быть может, ие столь очевидно, что сходные методы Моите-Карло можно использовать для изучения проблем удержания кварков и химической кинетики. Фактически возрастание роли компьютера в научных исследованиях в настоящее время усиливается взаимодействием различных разделов физики и связью физики с другими науками.

Компьютер не только позволил иам полностью осознать единство физики, но помог по-новому рассматривать явления, что дополняет традиционные методы. Коль скоро мы обсудили множество примеров из области физики, приведем пример из теоретической экологии. Рассмотрим простую модель хищник —жертва, представляющую акул и рыбу. Предположим, что коэффициент рождаемости рыбы не зависит от численности акул и что количество уничтожаемой каждой акулой рыбы пропорционально полному числу рыб. Последнее допущение было бы верным, если бы район охоты каждой акулы был неизменным, районы охоты разных акул не пересекались и каждая акула находила в своем районе постоянную часть рыбного косяка. Если предположить, что функция F(t) — количество рыбы в момент времени t, — непрерывна, то можно записать

где S(t) —численность акул в момент времени г, а и ^ — постоянные коэффициенты, ие зависящие от F и S. Далее, нам необходимо уравнение для скорости изменения числа акул. Допустимо предположить, что число детенышей, рожденных каждой акулой, пропорционально количеству рыбы, съеденной данной акулой. Если, кроме того, считать смертность постоянной, то имеем

Уравнения   (18.1)   и  (18.2)   известны   как   уравнения  Лотки —Вольтерра.

Заметим, что сделанное в уравнении (18.2) предположение о том, что скорость роста пропорциональна произведению численности обеих популяций, аналогично принципу действия массы в химической кинетике, согласно которому скорости реакции растут как произведение концентраций молекул. Систему этих двух уравнений можно исследовать стандартными методами и решить численно с помощью алгоритма Эйлера — Кромера. В состоянии ли вы объяснить, почему динамика поведения решений уравнений (18.1) и (18.2) обладает цикличностью?

В приведенной модели хищник—жертва предполагалось, что число хищников и жертв меняется непрерывным образом. Теперь очертим кратко другую модель хищник —жертва, которую проще всего сформулировать в виде вычислительного алгоритма. Модель, которую мы опишем, является двумерным клеточным автоматом, называемым Ва— Тор (см. список литературы).

i. Исходя нз требуемой концентрации рыб и акул, они помещаются случайным образом в узлы прямоугольной сетки. Всем рыбам и акулам присваивается случайный возраст.

м. На временнбм шаге t рассматривается по очереди каждая рыба. Определяется число ближайших соседних узлов, которые не заняты в момент времени t „ н рыба передвигается в один из свободных узлов случайным образом. Если все четыре соседних узла заняты, рыба не перемещается.

III. Если рыба выживает за время, кратное числу шагов fbreed, у рыбы появляется один потомок. Новая рыба помещается в старую позицию рыбы-роднтеля.

На временибм шаге t рассматривается по очереди каждая акула. Если все ближайшие к акуле соседние узлы в момент времени ( I не заняты, акула перемещается в одни из четырех свободных узлов случайным образом. Если хоть в одном соседнем узле находится рыба, акула перемещается случайным образом в одни из этих занятых узлов и поедает рыбу.

Если за nstarve шагов акула ничего не съедает, она погибает. Если акула выживает в течение времени, кратного sbread шагов, то она обзаводится одним детенышем. Новая акула помещается в предыдущую позицию своего родителя.

Каково динамическое поведение Ва—Тор? Проявляют ли Ва—Тор н уравнения Лотки—Вольтерра сходное поведение? Реалистична ли модель

Ва—Тор? Каковы достоинства и недостатки каждого подхода? Указания о численных значениях параметров посмотрите в литературе из приведенного списка. Представляете ли вы, как можно было бы модифицировать модель Ва—Тор, чтобы смоделировать химическую реакцию?