10.8.   ВЫБОРКА ПО ЗНАЧИМОСТИ

Поскольку анализ, проведенный в разд. 10.6, показал, что оценка погрешности метода Монте-Карло пропорциональна с, желательно познакомиться с методами «выборки по значимости»1', которые уменьшают с и повышают эффективность каждого испытания. В качестве примера этого метода введем положительную функцию р(х) такую, что

Тогда интеграл (10.1) можно переписать в виде

Мы можем вычислить интеграл (10.46), производя выборку в соответствии с «распределением вероятности» р(х) и конструируя сумму

Заметим, что для однородного случая р(х) = \/(Ь-а) и (10.47) переходит в (10.12).

Мы хотим выбрать функцию р(х) так, чтобы дисперсия подынтегрального выражения f(x)/р(х) была минимальна. Поскольку в общем случае вычислить с аналитически не удается, определим ее a posteriori и выберем функцию р(х), которая ведет себя как f(x) там, где f(x) велика. Если мы сумеем подобрать подходящую р(х), то подынтегральное выражение будет медленно меняющейся функцией и, следовательно, дисперсия уменьшится. В качестве примера опять рассмотрим интеграл (см. задачу 10.7)

Оценка F с р(х) = 1 иа отрезке 0 £ х £ 1 приведена в первом столбце табл. 10.4. Подходящей весовой функцией может быть р(х) = Ае~х, где А выбирается из условия нормировки р(х) на единичном отрезке. Заметим, что р(х) выбрана положительно-определенной и качественно подобна функции f(x). Результаты представлены во втором столбце табл. 10.4. Видно, что, хотя машинное время, приходящееся на одно испытание, в неоднородном случае больше, использование неравномерного распределения вероятности эффективнее за счет меньшего значения с.