ПРИЛОЖЕНИЕ 10А. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Выведем зависимость погрешности аппроксимации от количества отрезков разбиения для методов численного интегрирования, рассмотренных в разд. 10.1 и 10.3. Эти оценки основаны иа предположении о существовании представления подынтегральной функции /(х) рядом Тейлора

и интегрировании (10.1) на отрезке х. ^ х £ х(.+1:

Сначала оценим погрешность метода прямоугольников, в котором функция f(x) вычисляется на левом конце каждого отрезка. Погрешность А(. на отрезке [х„х.+1] равняется разности между (10.57) и оценкой /(х;)Ах:

Мы видим, что основной член погрешности на каждом отрезке имеет по-

2 2

рядок (Ах)    или,   в символической  записи,   0((Ах) ).   Поскольку полное

число отрезков равно л, а Ах = (6 - а)/л, то полная погрешность ме-

о

тода   прямоугольников   по   порядку   величины   равна   лА. ~ л(Ах) , или

Оцененную погрешность формулы трапеций можно найти аналогичным образом. Погрешность на отрезке [xfx41] определяется разностью между точным значением интеграла и оценкой [/(дс.) - /(х;+1)]Ах/2:

Если для оценки интеграла использовать формулу (10.57), а для оцен-

ки   функции в  (10.59)   —   выражение  (10.56),   то   увидим, что

член, пропорциональный f, сокращается и погрешность на одном отрезке равна 0((Ах)3). Отсюда полная погрешность формулы трапеций иа отрезке [а, Ь] равна 0(п ).

Поскольку формула Симпсона основывается на приближении функции f(x) параболой на отрезке [xfl> х J, члены погрешности, пропорциональные /", сокращаются. Можно было бы ожидать, что вклад внесут члены погрешности порядка f"'(x(.)(Ax)4, но они сокращаются в силу их симметричности. Следовательно, формула Симпсона правильно описывает член (Ах)4 в разложении функции f(x) в ряд Тейлора. Если в разложении функции f(x) в ряд Тейлора сохранить член порядка (Ах)4, то найдем, что погрешность на отрезке [х(., х.+1] по порядку величины равна f""(x.)(Ax)5, а полная погрешность формулы Симпсона на отрезке [а, Ь] составляет 0(л~4).

Обобщим теперь оценки погрешности на двумерный случай. Двумерный интеграл от f(x,y) представляет собой объем под поверхностью, определяемой функцией f(x,y). В «прямоугольном» приближении этот интеграл запишется в виде суммы объемов параллелепипедов с площадью основания АхА{/ и высотой, равной значению f(x,y) в одном из углов. Для определения погрешности разложим f(x,y) в ряд Тейлора:

где и f обозначают частные производные f(x,y) соответственно по х и у. Запишем погрешность в виде

Подставим (10.60) в (10.61) и почленно проинтегрируем. Получаем, что  член,   пропорциональный  f,   сокращается,   а  интеграл  от (x-x.)dx

2 '

дает (Ах) /2. Интеграл от этого выражения по dy дает еще один множитель А(/. Аналогичный вклад дает интеграл от члена, пропорционального (у - у.). Поскольку Ly составляет тоже О(Ах), то соответствующая погрешность на отрезках [х(, х  ] и      у[+^\ равна

Мы видим, что погрешность, связанная с одним параллелепипедом, со-ставляет  0((Ах) ).   Поскольку  всего  имеется   л   параллелепипедов, пол-

ная погрешность по порядку величины равна n(Ajc) .  Однако в двумер-

о

ном случае п - A/(Lx)    и,   следовательно,   полная  погрешность состав-

—1/2

ляет 0(л ). По сравнению с этим в одномерном случае полная погрешность равна 0(я-1).

Соответствующие оценки погрешности для двумерных обобщений фор-

-1 -2

мул трапеций и Симпсона соответственио равны 0(л ) и 0(п ). Вообще если для одномерного случая погрешность составляет 0(п~а), то в d-мерном случае она равна 0(n_a/d). В противоположность этому погрешности  метода Монте-Карло ие зависят от размерности  и меняются

-1/2

как 0(п ). Таким образом, для достаточно больших d интегрирование по методу Моите-Карло будет приводить к меньшим погрешностям при тех же значениях л.