ПРИЛОЖЕНИЕ 10Б. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ВЫВОД СТАНДАРТНОГО ОТКЛОНЕНИЯ ОТ СРЕДНЕГО

В разд. 10.6 мы привели эмпирические соображения в обоснование того, что ошибка одного измерения из л испытаний равняется c/Vn, где о*—стандартное отклонение для одного измерения. Сейчас мы приведем аналитический вывод этого соотношения. Обозначим измеряемую в эксперименте величину через х. Рассмотрим т наборов измерений, каждое состоит из я испытаний, итого общее число испытаний равно т.п. Будем нумеровать индексом а отдельные измерения, а индексом / — испытания в каждом измерении. Обозначим через ха. /е измерение в наборе с номером а. Значение измерения дается формулой

Среднее М полного числа тп испытаний равно

Разность между измерением а и средним по всем измерениям равна

Следовательно, мы можем записать дисперсию этих средних как

Теперь мы хотим связать величину 0"т с дисперсией отдельных испытаний. Отклонение отдельного испытания от среднего равно

Следовательно, дисперсия ff2 тп отдельных испытаний равна  Запишем

Если подставить (10.69) в (10.66), то получим

Суммирование в (10.70) по испытаниям i и / в наборе с номером а содержит два сорта членов с i = j и i * j. Мы предполагаем, что й& и da являются независимыми и в среднем половина из них положительна, а другая половина отрицательна. Следовательно, в пределе очень большого числа измерений можно ожидать, что сохраняться в формуле (10.70) будут только члены с i = j. В результате, имеем

Если мы объединим (10.71) и (10.68), то получим требуемый результат: