ОДНОМЕРНОЕ СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ

Хотя пьяницы ие являются основным объектом изучения физики, рассмотрим сначала идеализированную одномерную задачу о движении пьяного (пешехода), который начинает двигаться от фонарного столба, расположенного в точке х = 0 (рис. 11.1). Все шаги имеют одинаковую длину /. Направление каждого шага пешехода не зависит от направления предыдущего. На каждом шаге по времени пешеход делает шаг вправо с вероятностью р и шаг влево с вероятностью q = (1 - р). Пусть обозначает количество шагов вправо, а п^—влево. Полное число шагов равно N = + п^_. Тогда полное смещение пешехода от начала координат после N шагов равно х = (n^-n^l, где -Nl £ х £ N1. Основной интересующей нас величиной является вероятность Рж?{х) того, что после N шагов пешеход окажется на расстоянии х от столба. Мы

2

можем вычислить среднее смещение <х^> и дисперсию <АХд,> смещения пешехода по формулам

и

где

Усреднение производится по всевозможным блужданиям, состоящим из N шагов.

Исследование задачи случайного блуждания, сформулированной выше, можно провести аналитически, воспользовавшись теорией вероятностей (см. учебник Рейфа). В результате для величин <xpj> и <AxJV> получаются аналитические выражения

и

Заметим, что, согласно формуле (11.4), в симметричном случае р = = q = 1/2 получаем среднее <х^> = 0.

Теперь рассмотрим наш пример случайного блуждания с другой точки зрения: на языке диффузии молекулы в разреженном газе. Предположим, что молекула пробегает расстояние t между столкновениями с другими молекулами. Если допустить, что последовательные смещения молекулы между столкновениями статистически независимы, то движение молекулы будет тождественно блужданию пьяного. Поскольку движение такой молекулы можно к тому же описать некоторым диффузионным процессом, опишем кратко связь случайного блуждания с диффузией.   В разд. 11.6

мы установим, что процесс диффузии частично характеризуется линейным соотношением

связывающим между собой время t и среднеквадратичное смещение моле-кулы <&R(t) > из начального положения при t = 0. Коэффициент пропорциональности D в формуле (11.6) называется коэффициентом самодиффузии молекулы, a d — размерность пространства. Чтобы сопоставить (11.5) и (11.6), положим время между шагами равным т, так что N = = i/т, и отождествим длину свободного пробега I с шагом пешехода I. Тогда формулу (11.5) можно переписать в виде

Сравнивая (11.6) и (11.7), мы делаем заключение, что коэффициент диффузии случайно блуждающего пешехода в одномерном случае выражается при р = 1/2 формулой D =

Хотя соотношения (11.4) и (11.5) можно вывести, используя простые аналитические методы, нам необходимо разработать метод моделирования блужданий, которые не имеют точных решений. Два важных метода моделирования—точный комбинаторный метод (полного перебора) и метод Монте-Карло.

В методе, основанном на полном переборе, количество и вероятность всех блужданий для заданных N к х вычисляются в явном виде. В качестве примера на рис. 11.2 показано восемь блужданий для N = 3 к d = 1. Заметим, что число блужданий для положительных и отрицательных значений х одинаково. Перебор всех блужданий позволяет вычислить Р3(х) (рис. 11.2), и мы получим  

В формулах (11.8)  мы  использовали связь р + q = 1.   Из (11.8) нахо-

о

дим, что среднеквадратичное смещение выражается формулой <Дх > = = <jfg> - <х3> = \2pq, что совпадает с (11.5). В методе полного перебора компьютер используется как «счетовод», который генерирует возможные блуждания и в конце концов получает точные выражения для рассматриваемых величин. Поскольку полное число возможных Л^-шаговых блужданий в одномерном случае составляет 2^, то метод полного перебора, вообще говоря, ограничен малыми значениями N. (Конечно, это ограничение можно преодолеть, если модель решается аналитически.) Мы будем пользоваться результатами полного перебора для проверки наших вычислений методом Монте-Карло.