ОДНОМЕРНОЕ СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ
Хотя пьяницы ие являются основным объектом
изучения физики, рассмотрим сначала идеализированную одномерную задачу о
движении пьяного (пешехода), который начинает двигаться от фонарного столба,
расположенного в точке х = 0 (рис. 11.1). Все шаги имеют одинаковую длину /.
Направление каждого шага пешехода не зависит от направления предыдущего. На
каждом шаге по времени пешеход делает шаг вправо с вероятностью р и шаг влево с
вероятностью q = (1 - р). Пусть обозначает количество шагов вправо, а п^—влево.
Полное число шагов равно N = + п^_. Тогда полное смещение пешехода от начала координат
после N шагов равно х = (n^-n^l, где -Nl £ х £ N1. Основной
интересующей нас величиной является вероятность Рж?{х) того, что после N шагов
пешеход окажется на расстоянии х от столба. Мы
2
можем вычислить среднее смещение <х^> и дисперсию <АХд,> смещения пешехода по формулам
и
где
Усреднение производится по всевозможным блужданиям, состоящим из N шагов.
Исследование задачи случайного блуждания, сформулированной выше, можно провести аналитически, воспользовавшись теорией вероятностей (см. учебник Рейфа). В результате для величин <xpj> и <AxJV> получаются аналитические выражения
и
Заметим, что, согласно формуле (11.4), в симметричном случае р = = q = 1/2 получаем среднее <х^> = 0.
Теперь рассмотрим наш пример случайного блуждания с другой точки зрения: на языке диффузии молекулы в разреженном газе. Предположим, что молекула пробегает расстояние t между столкновениями с другими молекулами. Если допустить, что последовательные смещения молекулы между столкновениями статистически независимы, то движение молекулы будет тождественно блужданию пьяного. Поскольку движение такой молекулы можно к тому же описать некоторым диффузионным процессом, опишем кратко связь случайного блуждания с диффузией. В разд. 11.6
мы установим, что процесс диффузии частично характеризуется линейным соотношением
связывающим между собой время t и среднеквадратичное смещение моле-кулы <&R(t) > из начального положения при t = 0. Коэффициент пропорциональности D в формуле (11.6) называется коэффициентом самодиффузии молекулы, a d — размерность пространства. Чтобы сопоставить (11.5) и (11.6), положим время между шагами равным т, так что N = = i/т, и отождествим длину свободного пробега I с шагом пешехода I. Тогда формулу (11.5) можно переписать в виде
Сравнивая (11.6) и (11.7), мы делаем заключение, что коэффициент диффузии случайно блуждающего пешехода в одномерном случае выражается при р = 1/2 формулой D =
Хотя соотношения (11.4) и (11.5) можно вывести, используя простые аналитические методы, нам необходимо разработать метод моделирования блужданий, которые не имеют точных решений. Два важных метода моделирования—точный комбинаторный метод (полного перебора) и метод Монте-Карло.
В методе, основанном на полном переборе,
количество и вероятность всех блужданий для заданных N к х вычисляются в явном
виде. В качестве примера на рис. 11.2 показано восемь блужданий для N = 3 к d =
1. Заметим, что число блужданий для положительных и отрицательных значений х
одинаково. Перебор всех блужданий позволяет вычислить Р3(х) (рис. 11.2), и мы
получим
В формулах (11.8) мы использовали связь р + q = 1. Из (11.8) нахо-
о
дим, что среднеквадратичное смещение выражается формулой <Дх > = = <jfg> - <х3> = \2pq, что совпадает с (11.5). В методе полного перебора компьютер используется как «счетовод», который генерирует возможные блуждания и в конце концов получает точные выражения для рассматриваемых величин. Поскольку полное число возможных Л^-шаговых блужданий в одномерном случае составляет 2^, то метод полного перебора, вообще говоря, ограничен малыми значениями N. (Конечно, это ограничение можно преодолеть, если модель решается аналитически.) Мы будем пользоваться результатами полного перебора для проверки наших вычислений методом Монте-Карло.