ЗАДАЧА 11.2. Моделирование одномерных случайных блужданий методом Монте-Карло

а.         Модифицируйте программу random_walk таким образом, чтобы .пос-ле каждых 100 испытаний выводилась траектория каждого случайногопешехода и строился график Р^х). Задайте в своей модифицирован-ной программе параметры р - 0.5, N = 64 и ntrial = 1000. Воспри-нимаются ли траектории каждого пешехода визуально как «случай-ные»? Как качественно мениется вид функции РN (х) в зависимостиот числа испытаний?

б.         Используя программу random_walk с параметром р = 0.5, вычис-лите Рд, (х), <х^> и <ДдГд.> при N = 8, 16, 32 и 64. Сравните полу-ченные для <xfj> и <^xfj> результаты с соответствующими точнымиответами (11.4) и (11.5). Если необходимо вычислить <A*jy> с оди-наковой относительной точностью для N = 8 и N = 64, то в какомслучае потребуется больше испытаний?

в.         Постройте график Р^{х) для приведенных выше значений N. Явля-ется ли Яд, (х) непрерывной функцией? Чему равно значение Р^(х) вточке максимума для каждого значения N? Чему равна приближенная«ширина» Рщ,(х) в каждом случае?

г.         Используя график РN (х), покажите, что при достаточно большихN распределение Р^{х) может быть аппроксимировано гауссовым рас-пределением

где сг2 = <Lx2>. Подставьте вычисленные значения <х> и <Дх2> в формулу (11.10). Для всех ли значений х выражение (11.10) аппроксимирует рассчитанное распределение одинаково хорошо?

д.         Используя   анализ   погрешностей,    рассмотренный    в   разд. 10.6,

о

оцените число испытаний, необходимое для получения <^х^> при Л' = 8иЛ' = 64с точностью 5%. Данный анализ приводится в прило-жении ПА. Чему равно стандартное отклонение <Axjy>?

Q

е.         Положите р = 0.7. Вычислите <х^> и <xN> для тех же значенийN, что и в п. «б». Как можно интерпретировать <х^> в этом слу-чае?

Во многих приложеииих моделей случайного блуждания при больших значениях  N  используются  асимптотические  результаты.   Например, во

о

многих моделях случайного блуждания величина <^XN> удовлетворяет при достаточно больших N степенному закону, например

Соотношение (11.11) является примером асимптотического масштабного закона. Другими словами, при удвоении числа шагов среднеквадратичное смещение пешехода увеличивается в 2V раз. Для одномерного случайного блуждания из (11.5) находим, что V = 1/2. Во многих задачах, которые будут рассматриваться в этой главе, исследуется, существует ли степенной закон и зависит ли показатель степени V от структуры и размерности решетки, а также от типа блуждания.