ЗАДАЧА 11.4. Простая задача двумерного случайного блуждания

Рассмотрим «рой» из М «пчел», расположенный изначально в единичном круге с центром в начале координат. На каждом шаге по времени каждая пчела движется случайным образом равновероятно в одном из четырех возможных направлений: на север, юг, восток или запад. В приведенной ниже программе реализуется этот алгоритм и положение пчел изображается точками на экране.

а.         Выполните программу random_walk2 и качественно опишите харак-тер движения пчелиного роя.

б.         Предположим, что каждая пчела расположена случайным образомвнутри единичной окружности и имеет случайную начальную скоростьв одном из четырех возможных направлений. В течение каждого вре-менного интервала каждая пчела делает шаг единичной длины в на-правлении своей начальной скорости. Отличается ли движение дан-ного роя пчел от движения роя в п. «а»?

в.         Используя первоначальную формулировку задачи случайного блуж-

о о

дания,  вычислите <*д,>, <УЛ/>1 <^xfJ> и           как ФУнки-ии от числа

шагов N.  Усреднение выполняется по М пчелам.   Вычислите также

о

средний квадрат полного смешения <LR^>, определяемый как

Каковы качественные зависимости этих величин от числа шагов? Вы-

о о

числите зависимость R      от N,  где R     —максимальное смещение

гпэх    тэх 2

пчел на N-м шаге. Различаются ли качественно зависимости Rmax и <А/?2> от N для всех N7

n

г. Повторите вычисления п. «в», используя формализм случайной скорости, а не случайного блуждания. Различаются ли качественно усредненные движения пчел? Если да, то объясните природу и причину этого различия.

В задаче 11.4 мы допустили, что каждый шаг имеет равную длину и совершается в одном из четырех направлений. Следовательно, мы неявно предположили, что каждое блуждание происходит на квадратной решетке, как показано на рис. 11.3,а. Для квадратной решетки координационное число z, число ближайших соседних узлов, равно четырем. Используется и другая двумерная решетка— треугольная (рис. 11.3,6), у которой z = 6. Как говорилось в гл. 6, двумерные твердые тела обычно имеют треугольную решетку, а не квадратную. Если не оговорено особо, мы считаем период решетки равным единице.

Поскольку мы часто будем рассматривать поведение среднего квадрата полного смещения для больших N [см. (11.12)], то удобно ввести обозначение:

Величину RN называют среднеквадратичным смещением и ее   не следует путать с абсолютным значением вектора R^. Показатель степени v определяется асимптотическим соотношением (большие N)

где а —постоянная величина порядка единицы.