ЗАДАЧА 11.5. Случайные блуждания на двумерных и трехмерных решетках

а.         Перечислите все случайные блуждания на квадратной решетке с

о

N = 4 и получите точные значения для <xN>, <у^ и <bRpj>. Напишите программу для  вычисления  методом  Монте-Карло <xN>.  <yN> и <ЛЯд> и убедитесь в ее правильности,  сравнивая  полученные с ее помощью результаты с точными.  Рассмотрите случай,  когда все четыре направления равновероятны.

б.         Вычислите методом Монте-Карло RN для N = 8, 16, 32 и 64 сприемлемым числом испытаний для каждого значения N. Заметим,что, вообще говоря, оцененные средние значения <дс^> и <yN> небудут в точности равны нулю и наилучшие результаты получаютсяпутем непосредственного вычисления RN исходя из определений(11.12) и (11.13). Из графика зависимости RN от N, построенногов дваждылогарифмическом масштабе, оцените показатель степени v.Если v ~ 1/2, то оцените величину коэффициента самодиффузии D,воспользовавшись определением (11.6) с заменой «времени» t на N.

*в. Вычислите RN методом Монте-Карло на треугольногй решетке и оцените V. Можете ли вы сделать вывод о том, что v не зависит от симметрии решетки? Зависит ли от симметрии решетки коэффициент D? Если да, то качественно обьясните эту зависимость.

*          2 2

г.  Как соответствующим образом обобщить величины <RN>, <^^А/> и

R^ иа случай трехмерной решетки? Вычислите RN для простой кубической решетки (г = 6) и оцените V. Зависит ли показатель v от размерности пространства?

*д. Рассмотрите случайного пешехода на квадратной решетке, начинающего движение из узла, расположенного на расстоянии h над го-

ризонтальной прямой (рис. 11.4). Примите, что вероятность р± шага «вниз» больше вероятности p-j. шага «вверх». Поскольку р± > р+, то можно ожидать, что после некоторого числа шагов пешеход «поглотится» (свалится в ров) в некотором узле горизонтальной прямой. Вероятности скачков целесообразно выбрать равными р± = 0.5, р-г = 0.1 и р_^ = р«_ = 0.2. Проведите моделирование методом Монте-Карло и определите среднее время т, за которое пешеход достигает горизонтальной прямой, и функциональную зависимость т от h. Можно ли определить скорость движения в вертикальном направлении? Поскольку пешеход движется не только по вертикали,  у него будет

о

некоторое горизонтальное смешение х. Как зависит <Lx > от h и т? Такое случайное блуждание можно рассматривать в качестве идеализированной модели падения дождевой капли при наличии случайных порывов легкого ветра.