ЗАДАЧА 11.7. Персистентное случайное блуждание

В «персистентном» случайном блуждании вероятность перехода, или «скачка», зависит от последнего перехода. Рассмотрите одномерное случайное блуждание, в котором шаги совершаются только в ближайшие соседние узлы. Предположим, что сделано N -1 шагов. Далее N-и шаг делается в том же направлении с вероятностью а; шаг в противоположном направлении делается с вероятностью 1 - а. Физический пример такого блуждания —рассеяние частицы на неподвижных рассеивающих центрах с анизотропными сечениями рассеяния. Другой пример персистентного блуждания рассматривается в п. «в». Модифицируйте программу random_walk так,  чтобы методом Монте-Карло

о

вычислялись <bxN> и PN(x). Отметим, что необходимо задавать как начальную координату, так и начальное состояние пешехода. К чему стремится персистентное случайное блуждание при а = 1/2?

а.         Рассмотрите два случая: а = 0.25 и а = 0.75 н вычислите вели-

q

чину <АдЕд> Для значений N = 8, 64, 256 и 512. Из асимптотической зависимости <Адс?,> от N оцените значение v.  Зависит ли V от а?

N

Если v ~ 1/2, вычислите коэффициент самодиффузии D для значений а = 0.25 и а = 0.75. Дайте физическое объяснение того, почему D(<x*0.5) больше (меньше), чем D(a=0.5).

б.         Вычислите функцию Р^(х) для a = 0.25 и значений N = 2, 4, 6 и10. Определите «скорость распространения» с посредством соотно-шения PN(x) = 0 дли х > cN. Оцените с, используя графики функцийРд, {х) для различных значений N. Сходятся ли полученные оценки ск предельному значению? Проведите аналогичное исследование дляобычного случайного блуждания. Сходятся ли оценки с к предельно-му значению в этом случае?

в.         Персистентное случайное блуждание можно рассматривать такжекак пример блуждания со многими состояниями, в котором состояниеблуждания   определяется   последним   переходом.   Рассмотрим, напри-

мер, пешехода, который может быть в одном из двух состояний; на каждом шаге вероятности остаться в том же состоянии или перейти в другое равны соответственно а и 1 - а. Одним из первых применений случайного блуждания с двумя состояниями было изучение диффузии в хроматографической колонке. Предоложим, что молекула в такой колонке может быть либо в подвижной фазе (постоинная скорость а>), либо в захваченной фазе (нулевая скорость). Рассматриваемой в эксперименте величиной является вероятность Рц(х) того, что за N шагов молекула пройдет расстояние х. Положите w = = 1 и а = 0.75 и рассчитайте качественное поведение PN(x). Хотя молекула не может диффундировать в любое состояние, возможно ли определить понятие ее эффективного коэффициента диффузии?

Падение дождевой капли, рассмотренное в задаче 11.5д, представляет пример ограниченного случайного блуждания, т.е. блуждания при наличии границы. В следующей задаче мы рассмотрим влияние различных типов ограничений, иначе границ, на случайное блуждание в более общей постановке. Другой пример ограниченного случайного блуждания приводится в задаче 11.16.