ЗАДАЧА 11.8. Ограниченные случайные блуждания

а.         Рассмотрите одномерную решетку, у которой имеются «поглощаю-щие» узлы (ловушки) в точках х = 0 и х = а (а > 0). Пешеход на-чинает движение из точки х0 (0 < х0 < а) и с равной вероятностьюпереходит в ближайшие соседние узлы. Проведите моделирование ме-тодом Монте-Карло и убедитесь в том, что среднее время первогопрохода т частицы до ее поглощения выражается формулой

Здесь D обозначает коэффициент самодиффузии в отсутствие ловушек и усреднение производится по всем возможным блужданиям.

б.         Модели случайного блуждания при наличии ловушек сыграли важ-ную роль в физике конденсированного состояния. Например, рас-смотрим следующую идеализированную модель переноса энергии втвердом теле. Твердое тело представляется в виде решетки с двумятипами узлов: узлы-хозяева и узлы-ловушки. Падающий фотон погло-щается   узлом-хозяином   и  возбуждает  молекулу.   Энергия возбужде-

ния, или экситон, случайным образом передается ближайшим соседям, и возбужденная молекула возвращается в основное состояние. Экситон блуждает по решетке до тех пор, пока не достигнет узла-ловушки. Тогда экситон поглощается и происходит некоторый физический процесс, например химическаи реакция.

Одним из вариантов данной модели переноса энергии является одномерная решетка с узлами-ловушками, расположенными в периодической подрешетке. Поскольку эти узлы-ловушки расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, то можно заменить случайное блуждание на бесконечной решетке случайным блужданием по окружности (рис. 11.5). Рассмотрите окружность с N узлами-хозяевами, или непоглощающими узлами, и одним узлом-ловушкой. Если пешеход с одинаковой вероятностью начинает движение из любого непоглоща-ющего узла и с одинаковой вероятностью перепрыгивает в ближайшие соседние узлы, то как зависит от N среднее время жизни т (среднее число шагов до попадания в узел-ловушку)? Не моделируйте эту ситуацию, а воспользуйтесь результатами п. «а».

в.         Знаменитой версией задачи о времени первого прохода являетсязадача о «разорении игрока». Предположим, что два человека начи-нают игру, имея каждый начальный капитал в 10 долларов, и послекаждого броска игральной кости один из игроков должен выиграть 1доллар, другой должен проиграть 1 доллар. Как долго в среднемсмогут они играть до тех пор, пока капитал одного из них не ис-черпается? Как долго смогут они играть, если каждый сядет застол со 100 долларами? (К сожалению, в этой игре в отличие отреальной жизни ни одному из игроков нельзя залезать в долги.)

г.         Кристаллическое твердое тело никогда не является совершенным,а содержит разнообразные дефекты. Простейшим дефектом являетсявакансия решетки, например отсутствие атома в узле решетки и по-мещенне дополнительного атома на поверхность. Прн конечной температуре в реальном кристалле всегда имеется некоторое число решеточных вакансий. Во многих случаях вакансия диффундирует, меняясь местами с соседними атомами случайным образом. Предположите, что при t = 0 вакансия расположена в центре окружности радиусом г. Проведите моделирование методом Монте-Карло и определите среднее время, за которое вакансия достигает поверхности металла, находящейся на расстоянии г. Каково распределение вероятностей для времени первого прохода?

д. Рассмотрите одномерную решетку с отражающими узлами, расположенными в точках х = -а и х = а. Другими словами, если пешеход попадает в отражающий узел х = а, то на следующем шаге он оказывается в узле с координатой х = а -1. В момент времени t = О пешеход начинает движение из узла х = О и с равной вероятностью переходит в ближайшие соседние узлы. Составьте программу вычисления методом Монте-Карло Р^ (х) — вероятности того, что через N шагов пешеход окажется в узле х. Сравните вид функции PN(x) при наличии и в отсутствие отражающих «стенок». Удается лн вам различить этн два распределения вероятностей, если N порядка о? При каком минимальном значении N вы можете различить этн распределения?

Хотя во всех вышеприведенных задачах фигурируют случайные блуждания на решетке, хранить координаты узлов решетки или путь пешехода не было необходимости. В следующей задаче мы рассмотрим модель случайного блуждания, в которой требуется хранить координаты решетки, образованной «газом» (коллективом) случайных пешеходов.