ЗАДАЧА 11.9. Диффузия частицы в решеточном газе

Рассмотрим случай ненулевой концентрации с случайных пешеходов (частиц) на квадратной решетке. Каждая частица перемещается случайным образом в блнжайщий свободный узел, и попадание двух частиц в один узел исключено, иначе говоря, частицы не взаимодействуют. Такая модель является примером решеточного газа. Заметим, что движение отдельной частицы коррелировано с движением других частиц. Физическое обоснование этой модели возникает в физике металлов, где диффузия обусловлена температурными вакансиями, концентрация которых зависит от температуры.  Основной рассматрн

ваемой физической величиной является коэффициент самодиффузии D отдельной (меченой или индикаторной) частицы. Алгоритм Монте-Карло для вычисления D можно сформулировать следующим образом:

Распределите частицы с концентрацией с случайным образом по узлам решетки. (Не забудьте, что 0 < с £ 1.) Пометьте каждую частицу (т.е. сделайте ее непохожей на другие) и запомните ее начальное положение в массиве.

На каждом шаге случайным образом выберите частицу н один из соседних с ней узлов. Если соседний узел не занят, то частица переходит в него; в противном случае она сохраняет свое текущее положение.

В этом случае «время» измеряется в произвольных единицах. Принятая единица времени, которой мы будем часто пользоваться, соответствует одному шагу метода Монте-Карло на частицу. За одни шаг метода Монте-Карло на частицу каждая частица совершает в среднем один переход. Коэффициент диффузии D получается предельным переходом t—»оо функции £>(<), где D(t) определяется выражением

о

и <LR(t)> —полное среднеквадратичное смещение, приходящееся на одну меченую частицу за время t. Приведем пример программы, в которой реализован указанный алгоритм.

Подпись:

а. Вычислите методом Монте-Карло величину D на квадратной решетке для значений с = 0.1, 0.2, 0.3, 0.5 и 0.7. Хотя D определяется   как   предел   при t—»оо   выражения   (11.16),   на   практике D(t)

флуктуирует со временем и путем увеличения t точность не повышается. Лучшую статистику для D можно получить, усредняя D по как можно большему числу меченых частиц н, следовательно, рассматривая решетку как можно большего размера L. Почему необходимо ограничивать число шагов в методе Монте-Карло так,  чтобы величина

о о

<LR(t) > была меньше,  чем (L/2) ? Точность вычисления  D можно

9

также увеличить, усредняя <LR(t) > по различным стартовым временам. Покажите, что отклонение D(t) от ^точного значения обратно пропорционально квадратному корню из числа частиц, по которым производится усреднение в (11.16).

б.         Почему D является монотонно убывающей функцией концентрациис? Определите зависимость от концентрации вероятности того, чтоесли частица переходит в вакансию в момент времени t, то онавозвращается в начальное положение в момент времени / +1. Попы-тайтесь определить качественную зависимость между величиной Dкак функцией концентрации и этой вероятностью.

в.         Рассмотрите модель одномерной решетки, на которой частицыдвигаются случайным образом, но исключается попадание двух час-тиц в одни узел.   Последнее ограничение означает,  что частицы не

о

могут проходить сквозь друг друга. Вычислите <Ах > в зависимостиот t. Диффундируют ли эти частицы, т.е. пропорциональна лн вели-чина           времени /? Если нет, то как зависит           от /?