ЗАДАЧА 11.10. Центральная предельная теорема

Рассмотрим случайную величину х с плотностью вероятности f(x). Момент пг-го порядка функции f(x) определяется как

Среднее значение <х> равно значению выражения (11.17) при от = 1. Дисперсия гг^ функции f(x) определяется как

Рассмотрим сумму уп, соответствующую среднему л значений х:

Обозначим у = уп. Предположим, что мы проделали много измерений у. Известно, что значения у не получатся одинаковыми, а будут распределены в соответствии с некой плотностью вероятности Р(х), где Р(х)Ьу — вероятность попадания измеряемой величины в интервал [у, у + Ьу]. Основными рассматриваемыми величинами являются среднее <у>, стандартное отклонение = <(/2> - <{/>2 и сама функция Р(у).

а.         Предположите, что f(x) равномерно распределена на отрезке[-1, 1]. Вычислите аналитически <х> и се . Используя метод Монте-Карло, проведите достаточное количество измерений у для опреде-ления Р{у), <у> и о-^ с приемлемой точностью. (Например, выберител = 500 и проведите 100 измерений у.) Покажите, что се^ приблизительно равно се /-fn. Постройте график функции Р(у) и качественнообсудите его форму. Сильно ли меняется форма графика Р(у) с рос-том л? Меняется лн форма графика Р(у) при увеличении числа изме-рений у?

б.         Чтобы проверить, насколько результаты п. «а» иосят общий ха-рактер, рассмотрите экспоненциальную плотность вероятности

Вычислите аналитически <х> и        Модифицируйте программу метода Монте-Карло из п. «а»  и вычислите Р(у),  <у> и се .  Связана лн се с с?х так же,   как в п. «а»? Постройте график Р(у) и обсудите качественно его форму и зависимость от количества измерений у.

в.         Пусть у будет оценкой интеграла

полученной методом Монте-Карло (см. задачу 10.5а.) В этом случае у находится путем получения выборки подынтегральной функции f(x) = 4 У1 - jc2 в л точках. Выберите л = 1000 и проведите 100 измерений у. Покажите, что распределение значений у является гауссовым. Как связано стандартное отклонение Р(у) со стандартным отклонением f(x)7

г.  Рассмотрите лоренцову плотность вероятности

с о = 1. Чему равно среднее значение <х>? Существует ли второй момент, а тем самым и дисперсия /(х)? Вычислите методом Монте-Карло Р(у), <у> и Постройте график функции Р(у) и обсудите его вид. Как зависит функция Р(у) от числа испытаний?