ЗАДАЧА 11.11. Случайные блуждания с переменным шагом

а.         Рассмотрите одномерное случайное блуждание со всеми допусти-мыми длинами прыжков. Вероятность того, что длина шага равна /',обозначим p(j). Если p(j) имеет вид р(/) = е-', то как выглядитРд, (х)? Указания: для формирования шагов с длиной, отвечающейплотности вероятности р(/), примените метод обратного преобразо-вания из разд. 10.7. Затем сгенерируйте Л7 шаговое случайноеблуждание и найдите полное смещение х. Сгенерируйте много такихблужданий и определите PN (х). Постройте график РN (х) и убеди-тесь в том, что его форма соответствует гауссову распределению.Эквивалентно ли такое случайное блуждание процессу диффузии?

б.         Рассмотрите случайное блуждание на решетке, как в п. «а», свероятностью распределения длины шагов p(j) = A/j . Определитенормировочную постоянную А, используя соотношение

и требуя, чтобы рЦ) была нормирована на единицу. Существует ли второй момент р(/')? Ожидаете ли вы, что вероятность Рц(х) будет гауссовой? Проведите моделирование методом Монте-Карло, как в п. «а», и убедитесь в том, что функция      (х) имеет вид

Чему равно значение постоянной fc? Существует ли у функции Р^(х) дисперсия? Эквивалентно лн такое случайное блуждание процессу диффузии?

В п.п. «а»—«г» задачи 11.10 приведены примеры центральной предельной теоремы, которая утверждает, что распределение вероятности большого числа измерений у будет гауссовым со средним <у> и стандартным отклонением, равным стандартному отклонению f(x), умноженному на 1/Vn. Единственные налагаемые требования состоят в том, чтобы первый и второй моменты функции f(x) были конечны, чтобы измерения у были статистически независимыми и п было велико. Используя центральную предельную теорему, объясните результаты, полученные в задачах 11.10 и 11.11а. Как связаны между собой настоящее вычисление функции Яд,(х) и вычисление распределений вероятностей в рассмотренных ранее моделях случайного блуждания?