11.4. ПРИЛОЖЕНИЯ В ФИЗИКЕ ПОЛИМЕРОВ

Немного найдется областей исследования, в которых модели случайного блуждания играют столь же важную роль, как в физике полимеров (де Жен). Самое первое исследование (1934) конфигураций полимеров было проведено с использованием моделей случайных блужданий. На протяжении последних 50 лет изучение статистических свойств длинных гибких полимерных цепочек и моделей случайных блужданий развивалось параллельно.

Полимер состоит из очень большого числа N (N ~ 103—105) повторяющихся звеньев, или мономеров. Например, повторяющиеся звенья цепочки  полиэтилена  можно  изобразить  как  ...-СН^-СН^-СН^-.... Зна-

нне детальной структуры полимера важно для многих практических приложений. Если, например, мы хотим усовершенствовать производство резины, то нужно хорошо разбираться в свойствах локальных движений цепочек каучука. Однако если нас интересуют глобальные свойства полимера, то детали строения цепочки можно не принимать во внимание.

Рассмотрим известный пример о кусочке спагетти, помещенном в теплую воду. Через короткий промежуток времени спагетти становится гибким и ведет себя подобно полимерной цепочке в хорошем растворителе, т.е. спагетти как не сворачивается в маленький комок, так и не вытягивается полностью. Скорее кусочек приобретает случайную структуру, как схематично показано на рис. 11.6. Мы говорим, что спагетти ведет себя как слабый раствор полимерных цепочек в хорошем растворителе. Разбавленность раствора означает, что мы можем не принимать во внимание запутывание цепочек и рассматривать каждую цепочку отдельно. Наличие «хорошего» растворителя означает, что полимеры могут свободно двигаться и, следовательно, принимать всевозможные конфигурации. Одной из фундаментальных геометрических характеристик, которую можно использовать для описания полимера, является среднеквадратичное расстояние между концами цепочки RN, где RN определяется формулой (11.13) и Л7 —количество мономеров. Известно, что для слабого раствора полимерных цепочек в хорошем растворителе асимптотическая зависимость R^ выражается формулой (11.14) с показателем степени v ~ 3/5 для всех гибких цепочек. Для двумерного случая известен точный результат V = 3/4.  Множитель а в выражении (11.14) определяется структурой мономеров и самим растворителем.

Обсудим теперь модель случайного блуждания, которая описывает глобальные свойства линейных полимеров в растворе. Мы уже рассмотрели модель полимерной цепочки, состоящей из прямолинейных отрезков одинаковой длины, соединенных под случайными углами (см. задачу 11.6). Дальнейшая идеализация заключается в размещении полимерной цепочки на решетке (рис. 11.6,6). Известно, что если пренебречь взаимодействием мономеров между собой, то независимо от размерности и структуры решетки получается гауссова цепочка с У = 1/2. Поскольку этот результат для i; не соответствует экспериментальным данным, необходимо рассмотреть более реалистичную модель цепочки, в которой учитывается самое важное физическое свойство любого полимера—два мономера не могут находиться в одном месте пространства. Данное ограничение, известное как условие «исключенного объема», означает, что само блуждание невозможно адекватно описать с помощью только модели случайного блуждания. Стандартная решеточная модель гибкой полимерной цепочки называется блужданием «без самопересечений» (ББС). Рассмотрите множество всех W-шаговых блужданий, исходящих из определенной начальной точки, при условии глобального ограничения, что в каждом блуждании никакой узел решетки не может посещаться более одного раза; данное ограничение отвечает условию исключенного объема. Расчет характеристик ББС—трудная задача, и вычисления на компьютере комбинаторным методом и методом Моите-Карло сыграли важную роль в получении современных представлений об этих явлениях. В задаче 11.13 мы рассмотрим двумерное моделирование ББС методом Монте-Карло.