'ЗАДАЧА 11.14. Применение метода рептаций1'

Одним нз наиболее эффективных улучшений метода является процедура «рептацнй» (см. список литературы). Для простоты рассмотрим модель полимерной цепочки, у которой все углы связи равны 90°. В качестве примера такой модели на рнс. 11.8 показаны пять N = 5-звенных независимых полимерных цепочек. (Другие цепочки совпадают с приведенными с точностью до преобразований поворота или отражения.) Метод рептацнй можно сформулировать следующим образом:

Случайным образом выбираем цепочку н удаляем хвостовое звено.

Пробуем добавить звено в начало цепочки. Возможны не более двух направлений присоединения нового головного звена.

Если добавление нового звена приводит к нарушению условия самонепересечення, возвращаемся к исходной цепочке н меняем местами голову и хвост. Включаем эту цепочку в статистическую выборку.

2

Для получения статистическогого среднего RN приведенные выше шаги повторяем много раз.

В качестве примера использования метода рептацнй предположим, что мы выбрали цепочку а на рис. 11.8. Новое звено можно добавить в двух направлениях (рис. 11.9,а), так что в среднем получается а —» ^в + |г. По сравнению с этим в цепочке б звено можно добавить только в одном направлении, и получается б —» + |б, где хвост и голова цепочки b меняются местами (рис. 11.9,6). Убедитесь в том,   что остальные цепочки  преобразуются  по схемам

в—-»|д + |а, г—»|в+2-г и д—»|а + |б и что в результате все пять цепочек равновероятны, т.е. преобразования, применяемые в методе рептацнй, сохраняют собственные статистические веса цепочек. Существует лишь одна трудность: если не начать с конфигурации, имеющей «тупики» на обоих концах, как, например, показанной на рнс. 11.10, то такую конфигурацию мы никогда не получим, используя описанное выше преобразование. Отсюда видно, что метод рептацнй приводит к небольшому смещению нашей статистической выборки н вычисленное среднее расстояние между концами цепочки будет получаться немного больше, чем если бы рассматривались все конфигурации. Однако вероятность таких «тупиковых» конфигураций очень мала и смещением в большинстве случаев можно пренебречь. Считая углы между звеньями  равными 90°,   вычислите вручную

о

точное значение <R/l/> для N = 5. Затем составьте программу метода Монте-Карло, в которой реализуется метод рептацнй. Сгенерируйте одно N = 5-шаговое блуждание н с помощью метода рептацнй сгенерируйте статистическую выборку цепочек. Для проверки своей про-граммы Монте-Карло рассчитайте <RN> н сравните оба полученных значения. Затем распространите свои расчеты <R^/> методом Монте-Карло на большие значения N.

Моделью, которую легче изучать и которая описывает статистику линейных полимеров специального типа в растворе, является «истинное» блуждание без самопересечений (ИББС). ИББС описывает путь случайного пешехода, которому предписано не посещать любой узел решетки с вероятностью, являющейся функцией от количества уже происшедших посещений данного узла. Это условие приводит к уменьшению иск-

люченного объема по сравнению с обычным блужданием без самопересечения. ИББС рассматривается в задаче 11.15.