'ЗАДАЧА 11.16. Случайное блуждание на решетке, содержащей узлы-ловушки

а. Мы уже рассмотрели среднее время жизни пешехода в одномерной задаче случайного блуждания при наличии периодически распределенных узлов-ловушек (см. задачу 11.8а). Теперь предположим, что узлы-ловушкн распределены на одномерной решетке случайным образом с концентрацией с. Если пешеход помещен случайным образом в узел,   не  являющийся  ловушкой,   то определите  среднее  время его

жизни т, т.е. среднее число шагов до попадания в узел-ловушку. Положите, что на каждом шаге пешеход с равной вероятностью переходит в ближайшие соседние узлы, и используйте периодические краевые условия. Данная задача гораздо труднее, чем может показаться на первый взгляд, а в действительности вас подстерегает ряд тупиков! Главная проблема заключается в том, что необходимо выполнить три усреднения: по распределению ловушек, по начальной координате пешехода и по всем различным возможным блужданиям для данной начальной координаты и распределения узлов-ловушек. Выберите подходящие значения для числа испытаний, связанных с каждым усреднением, и найдите среднее время жизни т нз моделирования методом Монте-Карло. Если т изменяется по степенному закону, например т ~ Toc_Z' т0 °цените показатель степени г. Предложите простое объяснение такого значения г.

б.         По-вндимому, прямым обобщением п. «а» является вычисление ме-тодом Монте-Карло вероятности выживания Р для «шагового блуж-дания. Положите с = 0.5 н вычислите методом Монте-Карло Рп длямаксимально возможного значения п. [Имеются опубликованные ре-зультаты (Хевлнн и др.) для 50 000 испытаний и 2000 шагов на ре-шетке из 50 000 узлов.] Положите, что для п » 1 формула Рп име-ет внд

где Ь — постоянная, зависящая от концентрации. Согласуются ли ваши результаты с формулой (11.28)? Можно лн получить осмысленную оценку показателя степени а?

в.         Цель п. «б» заключалась в том, чтобы убедить вас, что напрактике методом Монте-Карло невозможно получить правильноеасимптотическое поведение функции Р . Проблема связана с тем,что мы пытаемся оценить Рп в асимптотической области, где значе-ния Рп очень малы; присущие методу Монте-Карло флуктуации непозволяют получить осмысленные результаты за разумное время. Спомощью аналитических методов было доказано, что асимптотическаязависимость Рп от п действительно имеет внд (11.28), но с пока-зателем степени а = 1/3. Соответствуют ли результаты, полученныевами с помощью метода Монте-Карло, этому значению а?

К счастью, существует более хороший метод, который уменьшает количество усреднений, н поэтому уменьшаются флуктуации. Суть этого метода заключается в точном вычислении вероятности того, что после п шагов пешеход оказывается в i-m узле с учетом данного распределения ловушек. Метод иллюстрируется на рис. 11.12. В первой строке показано случайное распределение узлов-ловушек на одномерной решетке. Во второй строке показано размещение пешехода во всех регулярных узлах решетки; узлам-ловушкам присваивается значение 0. Поскольку каждый пешеход с вероятностью 1/2 переходит в каждый ближайший узел, количество пешеходов Wn+1 (i) в i-м узле на (п + 1)-м шаге задается выражением

[Сравните соотношение (11.29) с соотношением, полученным в задаче ll.la.l Вероятность выживания Р   после п шагов для заданного

л

распределения узлов-ловушек выражается точной формулой:

где Nq — начальное количество пешеходов, н суммирование проводится по всем узлам решетки. Напишите программу для вычисления Р , используя эту процедуру полного перебора, н вычислите среднее <Р > по нескольким распределениям узлов-ловушек. Положите с = = 0.5 и определите вероятность выживания для п = 32, 64, 128, 512 н 1024. Выберите периодические краевые условия и решетку достаточного  размера.   С  какой  точностью  можно  оценить показатель

степени а? [Для сравнения: Хевлнн н др. рассматривали решетку из 50 ООО узлов и значения п вплоть до 10 .]