11.5. НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРЕДЕЛ

Поучительно рассмотреть непрерывный предел модели одномерного случайного блуждания, изложенной в разд. 11.2. Если с равной вероятностью делается шаг вправо или влево, то случайное блуждание можно переписать в виде простого «порождающего» уравнения

где Р (i) —вероятность того, что пешеход оказывается в i-m узле после п шагов. Для получения дифференциального уравнения для плотности вероятности P(x,t) положим t = пт, х = ia и Рп(0 = aP(x,t), где т —время между шагами, а —период решетки. Этн обозначения позволяют переписать (11.31) в эквивалентной форме:

Вычтем P(x,t-r) нз обеих частей (11.32), разделим на т и перепишем (11.32) в виде

Разлагая   P(x,t-x)   н   Р(х±а, г-т)   в   ряды   Тейлора   н   переходя к

о

пределу а—»0 н т—»0 прн конечном отношении D = а /2т, получим уравнение диффузии

Обобщение (11.34а) на трехмерный случай выглядит следующим образом:

о        2     ■Q        2      2        2 2

где V = д /дх + д /ду + д /дг —оператор Лапласа. Уравнение вида (11.34) называется уравнением диффузии нлн Фоккера—Планка и часто

используется для описания динамики молекул жидкости. В качестве «простого» упражнения найдите с помощью аналогичного метода дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет P(x,t) при р * д.

Можно показать, что решением уравнения (11.34а) для свободного пространства   является   распределение   Гаусса   с   шириной, пропорцно-

1/9

нальнои t :

где P(x,t) —плотность вероятности того, что в момент времени t частица находится в точке х, если при t = 0 она находилась в точке х = 0. Прямой подстановкой вы можете убедиться в том, что (11.35) является решением (11.34а). Используя (11.35), можно получить

и

Мы получили, что величина <х (t)> пропорциональна t так же, как и для случайного блуждания на решетке. Обобщение (11.37) на d-мерный случай дает: <P?(t)> = 2dDt [см. (11.6)], где Р? обозначает квадрат смещения частицы.

Численное решение уравнений в частных производных параболического типа, к которым принадлежит (11.34), относится к нетривиальным задачам численного анализа (Пресс и др., Куннн.). Косвенный метод анализа уравнения (11.34) заключается в применении метода Монте-Карло, т.е. замене (11.34) на соответствующее случайное блуждание на решетке с дискретными временными шагами. Поскольку асимптотическое поведение уравнения в частных производных и модели случайного блуждания одинаково, то в данном случае метод Монте-Карло выступает как метод численного анализа. В противоположность этому если наша цель заключается в непосредственном изучении модели случайного блуждания на решетке, то метод Монте-Карло является методом моделирования. Иногда различие между моделированием н численным анализом определяется только точкой зрения исследователя.