10.1.   ПРОСТЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Основной целью этой главы является ознакомление с методами Монте-Карло на примере задачи вычисления определенных интегралов. Однако, чтобы в будущем получить представление о применении метода Моите-Карло для интегрирования, полезно сначала обсудить широко распространенные «классические» методы численного интегрирования. Мы увидим, что, хотя эти методы обычно предпочтительны в случае малых размерностей, они практически ие годятся для многомерных интегралов и для вычисления последних наиболее пригодны методы Монте-Карло. Рассмотрим одномерный определенный интеграл вида

Для некоторых подынтегральных функций f(x) интеграл в (10.1) можно вычислить аналитически, найти в справочниках или оценить с помошью асимптотических рядов. Однако, большинство общеизвестных функций проинтегрировать таким способом не удается и интегралы от иих нужно вычислять численно.

Классические методы численного интегрирования основаны на геометрической интерпретации интеграла (10.1) как площади под графиком функции f(x) в пределах от к = а до к = Ь (рис. 10.1).

Ось х делится на л равных отрезков длиной Ах, где Ах равно

и

Для приведенного выше случая х0 = а, а хп = 6.

Простейшей оценкой площади под кривой f(x) служит сумма площадей прямоугольников, как показано иа рис. 10.2. В обычном методе прямоугольников значение f(x) вычисляется в начале каждого отрезка и оценка Fn интеграла дается выражением

Другим приближением является формула трапеций, в которой интеграл оценивается вычислением площади трапеции со сторонами, равными значениям f(x) в начале и конце отрезка. Это приближение эквивалентно замене функции отрезком прямой, соединяющей значения f(x) в начальной и конечной точках отрезка. Поскольку площадь под кривой от точки х. до x.+i равна | ГЯ*(-+])+ f(*-)]Ax, т0 полная площадь F  определяется выражением

Обычно более высокую точность обеспечивает использовании квадратичной, или параболической, интерполяции по трем соседним точкам. Например, уравнение полинома второй степени, проходящего через точки (х0,у0), (Xj.y,) и (*2,!/2), можно записать в виде

Чему равно значение у(х) при х = х? Площадь под параболой у(х) между точками х0 и х2 может быть найдена посредством простого интегрирования и выражается формулой

где Дх = - х0 = х2 - Ху Полная площадь всех параболических сегментов выражается формулой Симпсона:

Обратите внимание иа то, что в формуле Симпсона л должно быть четным числом.