12.1. ВВЕДЕНИЕ

В этой главе, посвященной геометрическим фазовым переходам, не требуется обширных познаний физики, например не требуется знания классической илн квантовой механики н статистической фнзикн. В самом деле, все, что требуется, ограничивается некоторыми понятиями геометрии н теории вероятностей. Главной притягательной силой геометрических фазовых переходов являются нх игровые аспекты и интуитивная простота. Кроме того, эти модели служат прекрасным введением в компьютерное моделирование и указывают на важность методов графического анализа. С другой стороны, знание основ фнзикн сделает эту главу более значительной и может послужить введением в задачи фазовых переходов н в такие важные представления, как масштабирование, критические показатели и ренорм-группа.

Вам может быть знаком термин «просачивание» в контексте задачи о заваривании кофе. Однако мы будем использовать это термин в более узком смысле. Для ознакомления с явлением просачивания мы рассмотрим другой важный (кухонный) пример. Представьте себе большой противень, на котором случайным образом размещены кружки жидкого теста. Затем противень с печеньем помещается в духовку. Допускается, что в процессе выпечки каждая капля теста может расплыться до максимального размера радиусом а. По своему опыту вы, вероятно, знаете, что если два печенья соприкасаются, то они сливаются и образуется одно печенье. Как вы думаете, что произойдет? Если вы не следите за выпечкой, то можете получить одно гигантское печенье, которое будет занимать значительную часть противня (рис. 12.1).

Давайте абстрагируемся от этого примера для уяснення концепции просачивания (перколяцни).   Представьте себе большую шахматную дос-

ку, а не противень. Будем представлять эту шахматную доску как квадратную решетку н предположим, что каждый квадрат, нли «ячейка», этой решетки может находиться в двух состояниях: «занято» или «пусто». Каждая ячейка занимается с вероятностью р независимо от состояния соседних ячеек. Эта модель называется ячеечной перколяцией. Занятые ячейки («печенья») либо изолированы друг от друга, либо образуют группы, состоящие из блнжайщих соседей. Мы определим кластер как группу занятых ячеек решетки, связанных с блнжайшнм соседом по стороне ячейки (рис. 12.2). Две занятые ячейки принадлежат одному кластеру, если они соединены путем, состоящим нз занятых ячеек.

Один из простых способов изучения перколяцнн основан на использовании генератора случайных чисел карманного калькуляторе. Вся процедура сводится к тому, чтобы сгенерировать случайное число, а затем занять ячейку решетки, если случайное число меньше р. Выполним эту процедуру для каждой ячейки решетки. Если вероятность занятия ячейки мала, то можно ожидать, что будут присутствовать только небольшие изолированные кластеры (рис. 12.3,а). По сравнению с этим если р ~ 1, то ожидается, что большинство занятых ячеек образуют одни большой кластер, который протянется от одной стороны решетки до другой (рис. 12.3, г). О таком кластере говорят, что он «перекидывается» через решетку, и называют соединяющим кластером. Что произойдет для промежуточных значений р, например для р от 0.4 до 0.7 (рис. 12.3,6 и в)? Мы увидим, что в пределе бесконечной решетки существует вполне определенная «пороговая» вероятность р   такая, что

Для pip существует одни соединяющий кластер, нлн путь;

для р < Рс нет ни одного соединяющего кластера н все кластеры

конечны.

Следует подчеркнуть, что характерной особенностью, присущей перколяции, является связность. Поскольку связность обнаруживает качественное изменение при конкретном значении некоторого параметра, который можно менять непрерывно, мы увидим, что переход нз состояния, не содержащего соединяющий кластер, в состояние с одним соединяющим кластером представляет собой фазовый переход.

Конечно, наш интерес не связан с печеньем или даже ячеечной пер-коляцней. Примером приложения понятий перколяции является электропроводность сложных систем, состоящих нз проводящих и непроводящих материалов. Простой способ изготовления такой системы в лабораторных условиях заключается в помещении в контейнер смеси маленьких металлических и пластмассовых шариков (см. Фнцпатрнк и др.). Особое внимание надо уделить случайному размещению шариков. Если металлические шарики составляют малую долю объема системы, то электрический ток не может пройти через комбинированную систему и она будет изолятором. Однако если металлические шарнкн составляют достаточно большую часть объема контейнера, то электрический ток будет в состоянии протекать через области, занимаемые этими шариками, и система будет проводником. Описание протекания электрического тока через комбинированные материалы можно сделать более точным, вводя параметр ф —долю объема контейнера, занимаемую металлическими шариками. Переход нз одного режима в другой (изолятор н проводник) происходит внезапно по мере увеличения параметра ф н соответствует отсутствию или наличию соединяющего пути нз металлических шариков. Более реалистичные комбинированные системы обсуждаются Цалленом.

Явления протекания можно также наблюдать в лаборатории на куске проволочной сетки. Возможно, вам захочется проделать эксперимент Уотсона и Лиса, которые измеряли электропроводность большого куска однородной стальной сеткн в зависимости от доли вырубленных ячеек. Координаты ячеек, которые будут вырубаться, определяются с помощью генератора случайных чисел. Уотсон и Лнс установили, что измеряемая электропроводность является быстро убывающей функцией части оставшихся ячеек р н стремится к нулю прн значениях ниже критического порогового. Недавно выполнено аналогичное измерение проводимости листа проводящей бумаги со случайно расположенными «дырками» (см. Мер и др.).

Приложения явлений протекания относятся к переходам металл—изолятор н проводимости электрической сетки (случайная резнсторная цепь), для учета распространения эпидемий в популяции, поведения магнитов, содержащих прнмесн, и описания гелей. Чем отличается шарик геля от бульонного шарика? В дальнейшем мы сконцентрируем наше внимание на изучении некоторых простых моделей перколяцнн, которые аппелнруют к нашей интунцнн. Многие приложения концепции перколяции обсуждаются в литературе, приведенной в конце главы.