12.2. ПОРОГ ПЕРКОЛЯЦИИ

Поскольку неудобно генерировать перколяционные конфигурации с помощью калькулятора, мы разработаем простую программу. Рассмотрим квадратную решетку со стороной L и присвоим каждой ячейкой этой решетки случайные числа от нуля до единицы. Ячейка занимается, если присвоенное ей случайное число меньше р. Программа site, распечатка которой приведена ниже,  порождает ячеечную перколяцнонную конфнгу

рацню и выводит ее на экран компьютера для наглядного представления кластеров, В массиве г основной программы хранятся случайные числа, присваиваемые каждой ячейке. Заметим, что каждой ячейке решетки присваивается случайное число, так что если р увеличивается, то занятые ячейки остаются занятыми.

Порог перколяции pc определяется как такая вероятность р, прн которой появляется первый бесконечный кластер на бесконечной решетке. Однако для конечной решетки со стороной L, которую мы можем промоделировать на компьютере, всегда существует ненулевая вероятность того, что будет появляться соединяющий кластер, связывающий одну сторону решетки с другой. Для малых значений р эта вероятность порядка pL (рис. 12.4). По мере увеличения L эта величина стремится к нулю, и для достаточно малых значений р будут существовать только

конечные кластеры. Поскольку нам необходимо применить правило «протекания» для конечной решетки, мы определим РС(Ц как среднее значение р, при котором впервые появляется соединяющий кластер. Для конечной решетки определение протекания произвольно и, следовательно, вычисленное значение рс зависит от критерия протекания. Например, мы можем определить соединяющий путь одним из способов: он связывает решетку либо в горизонтальном, либо в вертикальном направлении; соединяет решетку в выбранном направлении (например, в вертикальном); соединяет решетку в обоих направлениях. Все эти правила протекания должны приводить к одному и тому же экстраполированному значению рс при L —» со. В следующей ниже задаче мы получим приближенное значение рс с точностью около 10%. Более тонкий анализ, который называется конечномерным масштабированием, позволит нам экстраполировать результаты рс на предельный случай L —> со. Этот метод обсуждается в разд. 12.4.