ЗАДАЧА 12.3. Непрерывная перколяцня

а. Воспользуйтесь программой continuum для вычисления значения порога перколяции х, где параметр дг представляет собой плотность дисков.

*б. Модифицировав программу continuum так, чтобы диски произвольного размера от 0 до 1 случайно располагались в квадратном ящике, рассмотрите простую модель задачи о «противне», обсуждаемую в разд. 12.1. Как изменится значение х?

При обсуждении перколяции мы подчеркнули, что существует порог перколяции рс и появляется соединяющий путь, или кластер, при р s £ р . Более полную информацию можно получить из распределения среднего размера кластеров «s(p), определяемого формулой

При р fc р соединяющий кластер исключается из (По историческим причинам под размером кластера подразумевается число ячеек в кластере, а ие его пространственная протяженность.) Тщательное изучение рис. 12.3, а показывает, что п^(р = 0) = 5/64, 1/64 и 2/64 для 5 = = 1, 2 и 3 соответственно и равно нулю в противном случае. Поскольку Es sns представляет собой полное число занятых ячеек, a sws — количество занятых ячеек в кластере размером s, величина

является вероятностью того, что занятый узел, выбранный случайным образом, принадлежит кластеру размером s. Следовательно, средний размер кластера S определяется как

В качестве примера рассмотрим рис. 12.3,0. Средний размер кластера, соответствующий восьми кластерам на этом рисунке, равен 5 = 27/13.

Другой величиной, характеризующей перколяцию, является PJip) ~ вероятность того, что занятая ячейка принадлежит соединяющему кластеру. Функция Рт(р) определяется следующим образом:

В случае бесконечной решетки Рт(р) = О при р < рс и Pm(p) = 1 при р = 1. Внимательное изучение рис. 12.3,в показывает, что Рт(р = = 0.6) = 36/47 для приведенной конфигурации.