ЗАДАЧА 12.6. Длина связности

а. Одно из определений величины £ заключается в присваивании ей

значения радиуса циркуляции R^. Запишем радиус циркуляции Rs для единственного кластера, состоящего из s ячеек, в виде

где

и г координата j-й ячейки в этом кластере. Величина г является аналогом центра масс для кластера. Свяжем величину £ с радиусом циркуляции наибольшего несоеднияющего кластера, а не со взвешенным средним всех йу по всем несоедиияющим кластерам. Сгенерируйте перколяционную конфигурацию для данного значения р, вычислите Rs для наибольшего несоеднияющего кластера и усредните Rs по нескольким конфигурациям. Рассмотрите значения р, принадлежащие интервалам [рс-0.05, Рс.-001] и [рс + 0.01, рс + 0.05], положив рс = 0.5927 и шаг 0.01. Положите L = 32 и рассмотрите минимум 50 конфигураций для каждого значения р. Для р < р отбросьте конфигурации, содержащие соединяющий кластер, а для р > Рс отбросьте конфигурации, не содержащие соединяющий кластер. Постройте график функции £ в зависимости от р и обсудите качественную зависимость от р. Является ли £(р) монотонно возрастающей или убывающей функцией р для случаев р < рс и р > р?

*б. Свяжите длину связности с максимальным растоянием между двумя узлами в наибольшем несоединяющем кластере (рис. 12.9). Модифицируйте программу cluster так, чтобы максимальное расстоиние можно было вычислить и усреднить по нескольким испытаниям. Используйте конфигурацию из п. «а» и вычислите среднюю максималь-

ную длину между узлами в наибольшем несоединиющем кластере. Отождествите полученное значение этой длины с £, постройте график функции £(р) и обсудите зааисимость от р. Приводят ли оба определении £ к одинаковой качественной зааисимости?

На основании результатов, полученных в задаче 12.6, о поведении функции £(р) иа конечной решетке можно сделать вывод, что для больших значений L ^(р)—убывающая функции в диапазоне р < рс и возрастающей для р > рс (рис. 12.10). Кроме того, иам известно, что £(Р= Рс) приблизительно равна L и, следовательно, ивляется расходящейся при L—*a>. Качественное поведение функции £ не зависит от определении этой функции и соответствует нашему физическому представлению о кластерах: по мере приближения р к р возрастает вероятность того, что два занятых узла находятся в одном кластере. Такое качественное рассмотрение наталкивает иас иа мысль, что в пределе L—*а> £(Р) сингулярна в критической области |р-рс| « 1. Количественно можно описать сингулирность £(р), вводи критический показатель степени V, определяемый соотношением

Конечно, a priori нельзя сказать, почему расходимость £(р) имеет простой степенной характер. Возможно, вам захочется проанализировать свои данные о зависимости £(р) от р и попытатьси оценить показатель степени D. Однако, поскольку ваши данные получены только для относительно малых решеток («эффекты конечных размеров») и ограниченного числа испытаний, ваша оценка V будет очень приблизительной.

Как ведут себи в критической области другие величины, которые мы рассматривали, при L—*a>> В соответствии с определением Р (12.4), Рт = 0 при р < рс и возрастает при р > рс.  Мы предполагаем,  что в

критической области рост Р характеризуется другим показателем степени 6, определяемым соотношением

В терминологии критических ивлений Рт называется параметром порядка системы. Критический показатель степени /3 описывает стремление к нулю связности бесконечного кластера при пороговом значении для перколиции. Другой рассматриваемой величиной является средний размер кластера S(p). Критическое поведение S(p) можно описать следующим выражением:

которое определяет критический показатель. Известные критические показатели для перколяции приводятся в табл. 12.1. Для сравнения приведены аналогичные критические показатели для магнетиков.

Поскольку мы можем моделировать только конечные решетки, прямая подгонка измеряемых величин £, Рт и S(p) по формулам (12.7)—(12.9) ие будет давать хорошие оценки для соответствующих показателей степени. Главная проблема заключается в том, что мы не можем взять р достаточно близким к рс без получения эффектов конечного размера. В

противоположность этому значение £(р) мало по сравнению с L для значений р, лежащих вдали от р, и на измериемое значение £, а следовательно, и на другие физические величины ие влияют конечные размеры решетки. Значит, для значений р « р и р » р свойства системы неотличимы от соответствующих свойств истинно макроскопической системы (L—»со). Однако если значение р близко к р, то £(р) сравнима с L и поведение системы отличается от поведения макроскопической системы. В частности, иа конечной решетке не могут происходить истинные фазовые переходы, описываемые расходящимися физическими величинами. Вместо этого £ и S достигают конечного максимума при значении р = р (L).

Эффекты конечного размера системы можно количественно описать с помощью следующих рассуждений. Рассмотрим, например, предполагаемое критическое поведение величины Р , описываемой (12.8). До тех пор пока £ много меньше, чем L, предполагается, что степенной закон поведения (12.8) выполниется. Однако если величина £ сравнима с L, то £ не может существенно изменяться и выражение (12.8) становится неприменимым. Эти качественные изменения поведения Рт и других физических величин будут происходит для зависимости

Заметим, что выражение (12.10) можно обратить и записать

Следовательно, если £ и L приблизительно одинаковы, то можно заменить (12.8) иа следующее соотношение:

Соотношение (12.12) между Рт и L при р = рс соответствует тому факту, что фазовый переход определиется только для бесконечных систем.

Одно из применений соотношения (12.12) состоит в том, что с его помощью можно определить критические показатели. Такой метод анализа известен как конечномерное масштабирование и является важным при изучении критических показателей. Предположим, что мы сгенерировали перколяциоииые конфигурации при р = рс дли различных значений L и исследуем зависимость Рт от L. Если значение L достаточно велико, то можно воспользоватьси соотношением (12.12) для оценки отношения

fi/v. Аналогичное исследование можно провести для S(p) и других интересующих нас физических величин. Мы пользуемся этим методом в задаче 12.7.