10.2    ЧИСЛОВОЙ ПРИМЕР

Практически формула Симпсона пригодна для достаточно регулярных функций f(x), т.е. для функций, которые можно аппроксимировать полиномом. Если Дх) является такой «гладкой» функцией, можно вычислить площадь для заданного числа отрезков л, а затем удвоить число отрезков и вновь вычислить эту площадь. Если обе оценки достаточно близки, то вычисления прекращаются. В противном случае можно продолжать удваивать л, до тех пор пока ие будет достигнута требуемая

точность. Понятно, что данная процедура не будет работать, если функция Дх) ие является гладкой.

Можно ли понять заранее, какой из методов, трапеций или Симпсона, окажется лучше? Один способ осиоваи иа предположении, что функцию f(x) можно представить полиномом; в этом случае погрешность можно оценить (см. приложение 10А). Однако подчеркнем, что величина погрешности сильно зависит от характера самой функции f(x) и ее поведения на концах отрезка интегрирования и, следовательно, никакой численный метод ие может быть универсальным.

Приведем пример программы вычисления интеграла от функции f(x) методом прямоугольников.

Реализация формулы Симпсона, иллюстрирующая ее связь с формулой трапеций, приводится в нижеследующей подпрограмме, которую нужно подставить в программу integ вместо подпрограммы rectangle.

Вместо того чтобы иа оценивать погрешности различных классических формул, о которых шла речь в разд. 10.1, рассмотрим точность метода прямоугольников для интеграла от функции Дх) = cos х в пределах от х = 0 до х = тг/2. В табл. 10.1 приведены результаты расчетов по программе integ в порядке возрастания п. Как видно из анализа зависимости от п разности между численной оценкой Fn и точным результатом, равным единице, погрешность убывает как 1/п. Эта наблюдаемая зависимость погрешности от п согласуется с общим результатом, полученным в приложении 10А.