ЗАДАЧА 12.7. Конечномерный анализ критических показателей

а.         Воспользуйтесь программой cluster для вычисления Рт прир = рс, проведя по меньшей мере 100 испытаний. Рассмотрите слу-чаи L = 10, 20, 40 и 60. Усредняйте только по конфигурациям, ко-торые содержат соедиииющий кластер. Хоти наши качественные рас-суждении о соотношении (12.12) ие определяют, должны ли мы выб-рать р равным pc(L)  или  pc(L —* со),   наилучшие  результаты полу-

чаютси с использованием последнего значения р = 0.5927 на квад-

с

ратной решетке. Постройте график зависимости 1п Рт от In L и оцените отношение fi/v.

б.         Воспользуйтесь конечномерным масштабированием дли установле-ния зависимости среднего размера кластера от L при р = р . Моди-фицируйте программу cluster таким образом, чтобы S усредняласьпо тем же конфигурациям, что и в п. «а». Не забудьте, что S яв-ляется средним числом ячеек в несоединяющих кластерах.

в.         Найдите зависимость массы (числа частиц) М в соединяющемкластере при р = рс от L. Используйте такие же конфигурации, чтои в п. «а». Определите показатель степени с помощью графика за-висимости   In Р_  от   In L.   Значение   этого   показатели называется

со

фрактальной размерностью кластера и обсуждается в гл. 13.

В разд. 12.2 мы иашли, что численное значение порога перколяции рс зависит от симметрии и размеров решетки, например рс ~ 0.5927 дли квадратной решетки и рс = 1/2 для треугольной решетки. Удивительное свойство степенных зависимостей, приведенных в табл. 12.1, заключается в том, что значения критических показателей не зависят от симметрии решетки и даже от наличия самой решетки, например они равны показателям дли модели непрерывной перколяции, которая обсуждалась в задаче 12.3. Более того, не надо делать различий между этими показателями для ячеечной и цепной перколяции. Используя терминологию теории фазовых переходов, мы скажем, что непрерывная, ячеечная и цепная перколиции принадлежат одному классу универсальности и их критические показатели равны.

Другой важной идеей в области критических явлений считаетси существование зависимостей между критическими показателями. Примером такого закона масштабирования будет соотношение

где d — размерность решетки. Более детальное рассмотрение конечномерных и масштабных законов можно иайти в списке литературы, который приводится в конце раздела.