12.5. РЕНОРМГРУППА

В разд. 12.4 мы воспользовались свойствами связанных между собой величии в задачах перколиции при различных масштабах длины для вычисления значений критических показателей. Идею изучения некоторых физических величии в окрестности критических точек иа различных масштабах длины можно применять ие только дли конечномерного масштабировании, ио и взить за основу в методе ренорм-группы, который, вероитно, является одним из важнейших новых методов теоретической физики за последнее двадцатилетие. Первое объиснение критических явлений с помощью метода реиорм-группы было опубликовано К. Ж. Вильсоном в 1971 г. В 1981 г. автор был удостоен Нобелевской премии по физике за вклад в разработку метода ренорм-группы. Хотя впервые этот метод был использован в теории термодинамических фазовых переходов, проще познакомиться с иим иа примере задач перколяции. Мы увидим, что этот прямой метод получении критических показателей в соединении с методами Монте-Карло часто представляет собой гораздо более мощное средство, чем обычные методы Моите-Карло.

Дли ознакомлении с этим методом рассмотрим фотографию перколици-онной конфигурации, сгенерированной дли значения р = pQ < рс. Что мы увидим, если будем рассматривать фотографию со все большего расстоянии? Убедитесь в том, что рассматривание фото с большого рас-стоинии ие позволит вам увидеть кластеры, состоящие из одной ичей-ки, и различить близлежащие ичейки. К тому же области между большими кластерами и узкие перемычки, соединиющие крупные «кликсы», не будут различаться иа фотографии с такого расстояния. Следовательно, при р0 < рс расположенная вдалеке фотография будет похожа на перко-лиционную конфигурацию, сгеиерированиую для значения Pj такого, что

< pQ.   Кроме того,  длина связности Ј(Pj)  оставшихси  кластеров бу-

дет меньше, чем £(р0). Если мы отойдем еще дальше, то новые кластеры на фотографии будут казатьси еще меньше и соответствовать значению р = р2, причем р2 < Ру Обычно мы не в состоинии различить любые кластеры и фотографии будет казаться такой, как будто оиа сделана для тривиальной неподвижной точки р = 0.

Обсудим что мы могли бы увидеть в случае р0 > рс. При внимательном изучении фотографии мы могли бы различить только малые области незанятых ичеек. По мере удалении фотографии эти пустоты стаиовятси менее различимыми и конфигурация будет выглядеть все более однородной. Следовательно, фото будет выглядеть как конфигурация сгеиери-рованнаи для значения р = Pj с Pj > р0 и Ј(Pj) < £(р0). Мы заключаем, что по мере удалении фотографии она будет казаться такой, как будто оиа сделана при значении, равном другой тривиальной устойчивой точке, р = 1.

Что произойдет в случае pQ = р? Нам известно, что при значении параметра, равном пороговому, имеютси все масштабы длины, и ие играет роли, какую длину мы используем для изучения системы. Таким образом, фото будет выглидеть одинаково (хотя и менее чисто) независимо от расстояния, с которого мы его рассматриваем. В этом смысле рс является особой нетривиальной устойчивой точкой.

Рассмотрим операционный метод использования компьютера дли изменения конфигурации, которое аналогично удалению фотографии. Наше изложение в точности соответствует статье Рейиольдса и др. (см. список литературы). Рассмотрим квадратную решетку, которая разбита на клетки, или блоки, покрывающие решетку (рис. 12.11). Если мы посмотрим иа решетку издалека, то узлы поглощаютси клетками и образуют новый суперузел или «ренормироваиный» узел, тогда новая решетка обладает той же симметрией, что и исходиаи решетка Однако замена узлов новыми измениет масштаб длины —все расстоинии уменьшаются в Ъ раз, где Ь— линейный размер клетки. Таким образом, эффект «ренорма-лизации» заключается в замене каждой клетки единственным ренормиро-ванным узлом и перемасштабировании длины свизиости дли реиормиро-ваиной решетки в Ъ раз.

Как установить, будут ли ренормированиые узлы заняты или свободны? Поскольку мы хотим сохранить основные особенности исходной решетки, а зиачнт, ее связность мы предположим, что ренормироваиный узел занимается, если исходнаи группа узлов связывает эту клетку. Будем пользоваться для удобства правилом вертикального связывания. Эффект выполнения масштабного преобразования типичных перколяциои-ных конфигураций для значений р больше и меньше р иллюстрируется

соответственно на рис. 12.12а и 12.126. В обоих случаях преобразования ренормализации удаляют систему от состояния при рс. Видно, что для р = 0.7 эти преобразования возвращают систему к случаю с р = 1. Для р = 0.5 имеется тенденция к возвращению системы обратно к случаю с р = 0. Поскольку мы начали на конечной решетке, невозможно продолжать преобразование перенормировки бесконечно.

Программа гс в соединении с вашей зрительной интуицией генерирует конфигурации, типа приведенной иа рис. 12.12, и выполняет простой вариант метода реиорм-группы. Программа делит экран на четыре окна и рисует три ренормированные решетки в окнах 2, 3, 4.


Подпись: