ЗАДАЧА 12.8. Наглядная ренорм-группа

Воспользуйтесь программой rg с L = 32 и 6 = 2 и оцените величину порога перколяцня. Например, покажите, что для небольших значений р, например р я 0.4, ренормированиая решетка обычно преобразуется в иесоедиияющий кластер. Что произойдет в случае больших р, например р я 0.8? Как можно использовать свойства ренормиро-ваииых решеток для вычисления р?

Хотя визуальное выполнение метода ренорм-группы позволяет иам грубо оценить рс, оно ие дает возможности оценить критические показатели. В дальнейшем мы проведем анализ, основанный иа методе ре

иорм-группы, который позволит иам получить рс и критический показатель v, связанный с длиной связности. Этот анализ близко следует методу, предложенному Рейиольдсом и др. (см. список литературы).

Реализация метода ренорм-группы распадается иа две части: усреднение по всем основным переменным и точное определение параметров, определяющих ренормироваииую конфигурацию. Мы применим такое же усреднение, как я ранее, т.е. сгруппируем Ьй ячеек внутри блока размером Ь и заменим эту клетку единственной, которая изображается или нет в зависимости от того связывали или иет исходные ячейки эту клетку. Второй шаг заключается в определении параметров, которые характеризуют новую конфигурацию после усреднения. Мы допустим, что каждая клетка независима от остальных и характеризуется только значением р' — вероятностью того, что клетка занята. Поскольку преобразование реиормализации, связывающее между собой р' и р, должно отражать тот факт, что основным свойством перколяции является связность, т.е. наличие соединяющего пути; мы считаем клетку занятой, если оиа содержит множество ячеек, которые «пересекают» эту клетку. Следовательно, если ячейки занимаются с вероятностью р, то клетки занимаются с вероятностью р', где р' определяется рекурсивным соотношением или преобразованием перенормировки вида

Функция R(p)— полная вероятность того, что ячейки образуют соединяющий путь. Приведем пример, проясняющий формальную запись (12.14). На рис. 12.13 показаны семь соединяющих конфигураций для случая клетки с Ь = 2. Вероятность р' того, что ренормированная ячейка будет занятой, равна сумме вероятностей всех возможных вариантов:  

Заметим, что вообще вероятность занятия ренормированиых ячеек р' отличается от вероятности занятия исходных ячеек р. Например, предположим, что начинаем со значения р = рп = 0.5. После выполнения одного преобразования реиормализации значение р, получаемое по формуле (12.15), равно pj = /?(р0 = 0.5) = 0.44. Если выполнить второе преобразование, получим р2 = /?(р,) = 0.35. Нетрудно сделать вывод, что дальнейшее применение преобразования будет приближать систему к неподвижной точке р = 0. Точно так же, начиная с р = 0.7, после последовательного применения преобразований попадем в неподвижную точку р = 1. Для нахождения нетривиальных устойчивых точек, соответствующих критическому порогу р, нам необходимо найти конкретное значение р такое, что

Из рекурсивного соотношения (12.15) мы найдем, что решение уравнения четвертой степени относительно р* имеет два тривиальных значения неподвижных точек р* = 0 и р* = 1 и нетривиальную неподвижную точку р* = 0.61804, которую мы свяжем с р. Это вычисленное значение р* для случая с  6=2  иужио сравнить с  наилучшей известной

оценкой р = 0.5927. г с

Для вычисления критического показателя v с помощью преобразования перенормировки мы повторим, что иа ренормированной решетке все длины уменьшаются в 6 раз по сравнению с длинами исходной решетки. Следовательно, длина связности преобразуется в соответствии с

Поскольку  £(р) = const \p-pc\~v  для  р ~ рс  и  рс  соответствует р*, мы имеем

Для нахождения связи между р' и р вблизи р разложим ренормализаци-ониое преобразование (12.14) в ряд вблизи р* и получим в первом порядке

где

Необходимо проделать несложные алгебраические выкладки для получения явного выражения для v. Возведем сначала (12.19) в степень -v и запишем

Затем сравним (12.21) и (12.18) и получим

Наконец, прологарифмируем обе части (12.22) и получим требуемое соотношение для критического показателя V:

В качестве примера вычислим А для 6 = 2, записав (12.15) в виде R(P) - -р2 + 2р2- Производная R(p) по р дает А = 4р(1-р2) = 1.5279 при р = р* = 0.61804. Затем используем соотношение (12.23) и получим

Сравнение (12.24) с точным значением v = 4/3 для двумерного случая показывает удивительное соответствие для таких простых вычислений. Какое заключение мы могли бы сделать, если бы измеряли непосредственно £(р) иа решетке 2x2? Наши вычисления иекоитролируемы, поскольку мы ие имеем a priori оценок точности наших вычислений. В чем заключается суть наших приближений? Нашим основным предположением была независимость занятия каждой ячейки от состояния других. Это предположение верно для исходной ячейки, ио после реиормализа-ции мы теряем некоторые исходные соединяющие пути и приобретаем соединяющие пути, отсутствующие в исходной решетке. Пример такой «пограничной» проблемы приведен иа рис. 12.14. Поскольку такой поверхностный эффект становится менее вероятным с увеличением размера клеток, одни из способов улучшения вычислений методом реиорм-группы заключается в рассмотрении больших клеток. Мы рассматриваем вычисления для 6 = 3 в задаче 12.9.